4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点1.给出下列曲线,其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是()①4x+2y-1=0;②x2+y2=3;③+y2=1;④-y2=1.A.①③B.②④C.①②③D.②③④解析:如果不深入思考,采用直线方程y=-2x-3与四个曲线方程分别联立求交点,比较复杂,且易出现差错,作为选择题,可考虑采用排除法. y=-2x-3可变形为4x+2y+6=0,显然与直线4x+2y-1=0平行,故排除选项A,C;将y=-2x-3代入③+y2=1,并整理,得9x2+24x+16=0,即(3x+4)2=0,解得x=-,y=-.故已知直线与曲线③有交点,可排除选项B.故选D.答案:D2.我们把离心率等于“黄金分割比”的双曲线称为“优美双曲线”.设双曲线=1是优美双曲线,F是其左焦点,A是它的右顶点,B(0,b)是其虚轴上一点,则∠ABF等于()A.120°B.90°C.75°D.60°解析:由e=和点F(-c,0),A(a,0),B(0,b),可计算得·=0,故∠ABF=90°.答案:B3.已知抛物线y2=4x与直线x-y=2交于A,B两点,那么线段AB的中点坐标是()A.(4,2)B.(2,4)C.(-4,-2)D.(-2,-4)解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),把直线y=x-2代入抛物线方程y2=4x中,得x2-8x+4=0,∴x1+x2=8,=4,-2=2.∴AB的中点坐标为(4,2).答案:A4.已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A,B,则|AB|等于()A.3B.4C.3D.4解析:设直线AB的方程为y=x+b,由⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1,得AB的中点M,又M在直线x+y=0上,∴b=1,∴x2+x-2=0,∴|AB|==3.答案:C5.直线y-kx-1=0(k∈R)与椭圆(或圆)=1恒有公共点,则m的取值范围是()A.[1,+∞)B.(0,5)C.(0,k)D.(1,5)解析:直线y=kx+1过定点(0,1).依题意,点(0,1)在椭圆(或圆)上或其内部,∴≤1,且m>0.∴m≥1.答案:A6.若AB为过椭圆=1中心的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为()A.6B.12C.24D.48解析:不妨设F1为左焦点,即F1(-3,0).当直线AB斜率不存在时,△F1AB的面积为S=×3×8=12;当直线AB斜率存在时,设AB的方程为y=kx.与椭圆方程联立,消去y得,(16+25k2)x2=400.令A(x1,y1),B(x2,y2),∴x1+x2=0,x1x2=.∴|AB|=·|x1-x2|=·=·.又点F1到直线AB的距离为d=,∴△F1AB的面积为S=d·|AB|=···=60=60<12.答案:B7.已知动点P的坐标(x,y)满足,则动点P的轨迹是.1解析:表示动点P到定点(1,1)的距离,表示动点P到定直线x+y+2=0的距离,即原等式表示动点P到定点(1,1)和定直线x+y+2=0的距离之比等于常数,且0<<1,因此动点P的轨迹为椭圆.答案:椭圆8.(2014安徽高考)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(00,此时直线l与双曲线必有两个交点.综上所述,l共有3条,其方程为x-3=0或2x±3y-6=0.答案:3x-3=0或2x±3y-6=010.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.解:设抛物线y2=4x上的B,C两点关于直线y=kx+3对称,则直线BC的方程为x=-ky+m(k≠0),代入y2=4x,得y2+4ky-4m=0.①设点B(x1,y1),C(x2,y2),BC的中点M(x0,y0),则y0==-2k,则x0=2k2+m. 点M(x0,y0)在直线y=kx+3上,∴-2k=k(2k2+m)+3.∴m=-.②又 直线BC与抛物线交于不同的两点,∴方程①中,Δ=16k2+16m>0.把②式代入化简,得<0,即<0,解得-1b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径....
