利用数学思想处理三角函数问题陈显宏1.数形结合思想体现在三角函数中是利用单位圆中三角函数线、三角函数图象求三角函数定义域、解三角不等式、求单调区间、讨论方程实根的个数、比较大小等。例1.从小到大的顺序是___________。解析：这些角都不是特殊角，求出值来再比较行不通，若注意到相差较大，容易利用单位圆上的三角函数线区分它们各自函数值的大小。设（如图所示）可知应填例2.函数的定义域是____________。解析：该函数定义域即不等式组的解集，即的解集，若用传统方法则要求与的交集，不太方便。若画出，的图象（如图所示）由，易得2.转化与化归思想体现在三角函数中是切割化弦、统一角、统一函数名称、换元等手段处理求值（域）、最值、比较大小等问题。例3.若，则（）A.B.C.D.解析：若直接比较a与b的大小比较困难，若将a与b大小比较转化为的大小比较就容易多了。因为又因为所以，所以又因为，所以故选（A）。例4.求函数的值域。解析：先切割化弦，统一函数名称，得：令因为，所以于是求原函数的值域转化为求函数，由的值域，易得，所以原函数的值域为。3.函数与方程思想的应用体现在三角函数中是用函数的思想求解范围问题，用方程的思想解决求值、证明等问题。例5.已知函数，当有实数解时，求a的取值范围。解析：由得分离a得：问题转化为求a的值域。因为所以故当时，有实数解。例6.已知，，求的值。解法1：只需求α的某个三角函数或α的值，又只需用倍角公式把已知条件“缩角升幂”转化为解三角方程。由倍角公式，原方程化为：分解因式得：由所以得解法2：可以将原方程配方转化得：即得因为则所以只有解得所以4.分类讨论思想体现在三角函数中是根据求值或求角的需要对角的范围或参数的范围展开有序的讨论。例7.已知：，求的值。解析：由已知条件得：即因为所以所以这里要求即求，需要去掉绝对值，从而对的符号要展开讨论：（1）当时，所以；（2）当时，所以；综上5.分析与综合的思想体现在三角函数中是把多边形分割为三角形，把求某值转化为求另外的值等，然后依据分析结果，综合写出求解过程。例8.设，则的取值范围是_____________。解析：运用分析与综合的思想方法，先分析x的取值范围，再综合求的取值范围。因为则所以即所以填例9.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积。解析：先分析如何找到解题的突破口，再综合写出解题过程，如图所示，连结BD，则四边形ABCD的面积。而两个三角形的两边已知，只须求得已知两边的夹角的正弦值，又，只需求得其中一个角的正弦值或余弦值，解题从求余弦值开始，连结BD，在△ABD中，由余弦定理，得：在△CBD中，同理得：所以化简得又因为所以且所以则所以四边形ABCD的面积：6.整体思想的应用体现在三角函数中主要是整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值、研究函数性质等。例10.已知（1）求的值；（2）求的值。解析：由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求值。（1）由平方，得：即因为又因为所以故（2）
