高中数学3.4曲线与方程第1课时同步精练北师大版选修2-11．下列命题正确的是()A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线B．△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0C．到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝02．已知P1(x1，y1)是直线l：f(x，y)＝0上的一点，P2(x2，y2)是直线l外一点，则方程f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝0表示的直线l′与直线l的位置关系是()A．平行B．重合C．垂直D．斜交3．ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B满足的方程为()A．3x－y－20＝0B．3x－y－10＝0C．3x－y－12＝0D．3x－y－9＝04．方程4x2－y2＋4x＋2y＝0表示的曲线是()A．一个点B．两条互相平行的直线C．两条互相垂直的直线D．两条相交但不垂直的直线5．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心6．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为()A．πB．4πC．8πD．9π7．已知0≤α＜2π，点P(cosα，sinα)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为________．8．若两直线x＋y＝3a，x－y＝a的交点在方程x2＋y2＝1所表示的曲线上，则a＝______.9．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O′的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是________．10．已知点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，点P也在曲线g(x，y)＝0上，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．11．过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程．12．如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P满足的方程．1参考答案1.解析：选项A中直线不过(0,2)点；选项B中中线AO是线段；选项C中轨迹方程应是y＝±5.故选项A，B，C都错误，选D.答案：D2.解析： 点P1(x1，y1)在直线l：f(x，y)＝0上，∴f(x1，y1)＝0.∴f(x，y)＋f(x1，y1)＋f(x2，y2)＝f(x，y)＋f(x2，y2)＝0，即l′为f(x，y)＝－f(x2，y2)．又 点P2(x2，y2)在直线l外，则f(x2，y2)＝k≠0.∴l′为f(x，y)＝－k，即f(x，y)＋k＝0.答案：A3.解析：设AC，BD交于点P， 点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，∴P点坐标为.设B为(x，y)，则D为(5－x，－4－y)， 点D在直线3x－y＋1＝0上，∴15－3x＋4＋y＋1＝0，即3x－y－20＝0.答案：A4.解析： 4x2－y2＋4x＋2y＝0，∴(2x＋1)2－(y－1)2＝0，∴2x＋1＝±(y－1)，∴2x＋y＝0或2x－y＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．答案：D5.解析：令＝e1，＝e2，则由已知，得－＝λ(e1＋e2)，即＝λe1＋λe2.由平行四边形法则且得到的平行四边形是菱形，知AP是∠BAC的平分线，故选B.答案：B6.解析：设P为(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，即(x－2)2＋y2＝4，∴点P满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π.答案：B7.解析：(cosα－2)2＋sin2α＝3，得cosα＝，所以α＝或.答案：或8.解析： ∴∴交点坐标为(2a，a)．又该点在x2＋y2＝1上，∴(2a)2＋a2＝1，∴a＝±.答案：±9.解析：由⊙O：x2＋y2＝2，⊙O′：(x－4)2＋y2＝6，知两圆相离．设由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线与⊙O和⊙O′的切点分别为T，Q，则|PT|＝|PQ|，而|PT|2＝|PO|2－2，|PQ|2＝|PO′|2－6，∴|PO|2－2＝|PO′|2－6.设P(x，y)，即得x2＋y2－2＝(x－4)2＋y2－6，即x＝.2答案：x＝10.证明：因为点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上，所以f(x0，y0)＝0.又因为点P(x0，y0)也在曲线g(x，y)＝0上，所以g(x0，y0)＝0.所以对λ∈R，有f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0，即点P(x0，y0)适合方程f(x，y)＋λ·g(x，y)＝0.所以点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0上(λ∈R)．11.解法一：如下图，设点M的坐标为(x，y)． M为线段AB的中点，∴点A的坐标为(2x,0)，点B的坐标为(0,2y)． l1⊥l2，且l1，l2过点P(2,4)，∴PA⊥PB，∴kPA·kPB＝－1.而kPA＝＝(x≠1)，k...
