离散型随机变量典型题1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，设自己拿到自己写的贺卡的人数为，①求的概率分布；②求的数学期望与方差.1．解：（1）分布列0124（2）.2．有3张形状、大小、质量完全相同的卡片，在各张卡片上分别标上0、1、2。现从这3张卡片中任意抽出一张，读出其标号，然后把这张卡片放回去，再抽一张，其标号为，记。（1）求的分布列；（2）求和。解：（1）可能取的值为0、1、2、4。……（2分）且，，，……（6分）所求的分布列为：……（8分）（2）由（1）可知，……（11分）……（14分）3．（本题满分14分）甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记正面朝上的次为ξ；乙用这枚硬币掷2次，记正面朝上的次为η.（1）分别求ξ和η的期望；（2）规定；若ξ>η，则甲获胜，若ξ<η，则乙获胜，分别求出甲和乙获胜的概率.解ξ的可能取值为0，1，2，3则ξ的分布列为ξ0123则Eξη的可能取值为0，1，2则η的分布列为η012则Eη=第1页共12页0124所以ξ、η的数学期望分别为、1（2）P(ξ>η)=P(ξ<η)=所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为。4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数的数学期望和方差.解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B.设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分）则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2012P0.080.440.484．口袋里装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任里任意抽取一张，放回口袋里后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.（Ⅰ）为何值时，其发生的概率最大？说明理由；（Ⅱ）求随机变量的期望E。解（I）依题意，随机变量的取值是2、3、4、5、6…………2分因为P（=2）=；P（=3）=第2页共12页P（=4）=；P（=5）=；P（=6）=；…………7分所以，当=4时，其发生的概率P（=4）=最大…………8分（Ⅱ）E=………………12分5．（本小题满分12分）A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子（x、y、z≥0，且），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色，规定同色时为A胜，异色时为B胜.（1）用x、y、z表示B胜的概率；（2）当A如何调整箱子中球时，才能使自己获胜的概率最大？解：（1）显然A胜与B胜为对立事件，A胜分为三个基本事件：①A1：“A、B均取红球”；②A2：“A、B均取白球”；③A3：“A、B均取黄球”.（2）由（1）知，于是，即A在箱中只放6个红球时，获胜概率最大，其值为6．某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是，(1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率；(2)若5人中恰有r人合格的概率为，求r的值；(3)记测试合格的人数为，求的期望和方差。解：(1)体育教师不坐后排记为事件A，则。（2）每位考生测试合格的概率，测试不合格的概率为第3页共12页则，即，∴，(3) ～∴7．袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中任取一个球，直到取到白球为止.（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数的数学期望与方差；（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数的数学期望与方差。解（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球不再放回，所以的可能取值为1，2，3，4，5，易知，，故随机变量的概率分布列为：12345P…………….6分（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，设随机变量是取球次数，因为每次取出的黑球仍放回去，所以的可能取值是一切正整数，所求概率分布为123…n…P……第4页共12页8．如图，一辆车要直行通过某十字路口，这时前方刚好由绿灯转为红灯.该车前面已有4辆车依次在同一车道上排队等候（该车道只可以直行或左转行驶）.已知每辆车直行的概率为，左转行驶的概率.该路口红绿灯转换间隔均为1分钟.假设该车道上一辆直行的车驶出停车线需要10秒，一辆左转行驶的车驶出停车线需要20秒.求：（1）前面4辆车恰有2辆左转行驶的概率为...
