高二数学寒假专题 轨迹问题 人教版VIP专享VIP免费

高二数学寒假专题轨迹问题一.本周教学内容：寒假专题——轨迹问题［基本知识与方法］直译法、定义法、相关点法直译法：直接用动点P（x，y）的坐标表示等量关系，化简得轨迹方程。定义法：通过圆锥曲线（或已知曲线）定义确定轨迹性质，进而求得方程。相关点法：当动点P（x，y）与已知曲线上动点P1（x1，y1）相关时，用x，y表示x1，y1，再代入已知曲线方程，求得轨迹方程。例1.点P与两定点F1（－a，0），F2（a，0）（a>0）的连线的斜率乘积为常数k，求点P的轨迹方程。解：设P（x，y）则由kkkyxayxakxayakPFPF1222221例2.过原点的双曲线有一个焦点为F（4，0），且实轴长为2，求双曲线中心的轨迹方程。解：设中心M（x，y），另一焦点F’（x’，y’）yOF(4,0)xMF’则xxyy''422xxyy''242由双曲线定义得：||||'||()OFOFaO22为原点即|()|4244222xy化简：或()()xyxy21292222注：以上两题是先设动点坐标（x，y），然后用x，y表示题设中的等量关系，化简后得动点的轨迹方程，通常叫直译法，但例2中的等量关系比较隐蔽，需要利用“原点在双曲线上”这一条件，确定（或找到）等量关系。这是直译法的难点（找等量关系）。例3.用心爱心专心119号编辑1求与圆：外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹Oxyx122211()方程。解：设动圆圆心为P（x，y），半径为ryO1’Px=2O1-1Oxx=1-2由题设知|PO1|＝r＋1＝|O1O1’|（O1’为点O1到直线x=2的距离）即点P是到定点O’（－2，0）与到定直线x=2的距离相等的轨迹––––抛物线Pyx点轨迹方程为：28例4.已知定点（，），圆：，为圆上的动点，线段A30422OxyPOAP的中垂线交半径OP于点M，求点M的轨迹方程。解：由题设知：|MP|=|MA|yPMOA2x3||||()OMMP2半径OMMA|||2又||OA4∴M点的轨迹是以O，A为焦点的椭圆又 2a＝2，∴a＝1c32bac22213414中心为（，）320方程为：()xy32141122即()xy324122注：以上两题并不是先设动点的坐标，然后设法寻求坐标的等量关系，而是先分析动点的几用心爱心专心119号编辑2何性质，发现动点的轨迹是符合某种已知曲线的定义（即先定性），进而由该曲线的标准方程求得动点的轨迹方程。例5.已知抛物线y2＝2（x－1）的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，P为抛物线上的动点，求△APF的重心G的轨迹方程。解：设G（x，y），P（x’，y’）ylPGOA1FxFA()()320120，，，则xxyy123233''xxyy''323代入，yxyx'(')()()222132321即yxx22311()()例6.双曲线的实轴为，点是双曲线上不同于，的一个动xaybAAPAA222212121点引A1Q⊥A1P，A2Q⊥A2P，A1Q与A2Q的交点为Q，求Q点的轨迹方程。解：设P（x’，y’）（x’≠±a），Q（x，y）yQP(x’,y’)A1OA2x A1（－a，0），A2（a，0）由题设AQAPAQAP1122用心爱心专心119号编辑3yxayxayxayxaxxxayxay'''''()'11022代入bxayab222222''得bxaxayab22222222()()即：Qaxaxabybxya2422222222620注：以上两题是与两个动点有关的轨迹问题，其中一个动点在已知曲线上，另一动点是所求轨迹上的点，根据这两动点的坐标间的关系用所求轨迹上动点的坐标（x，y），表示已知曲线上动点（x’，y’）的坐标，最后代入到已知曲线的方程中得到所求轨迹方程，叫相关点（或代入法）1.自圆外一点P作圆xy221的两条切线PM和PN，若MPN2，则动点P的轨迹方程为____________2.设动点P（x，y）到直线x＝5的距离和它到点A（1，0）的距离之比为5，则动点P的轨迹方程是_________3.设M点与F（4，0）的距离比它到直线x50的距离小1，则M点的轨迹方程是__________4.已知C1：()xy3122，C2：()xy3422，则与C1、C2外切的动圆圆心P的轨迹方程为___________5.已知圆B：()xy11622及点A（1，0），C为圆B上任意一点，求AC垂直平分线与线段CB的交点P的轨迹。6.已知MON120，长为23的线段AB的两端点A、B分别在OM、ON上...