课时分层作业(六)(建议用时：40分钟)一、选择题1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)D[若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.故选D.]2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则()A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交但不垂直D．以上都不对B[因为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，所以有n＝－2m，即m与n共线(平行)，可知平面α和平面β相互平行．答案选B.]3．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝()A．B．C．3D．A[由题意知， α∥β，∴u＝λv，即解得λ＝－4，y＝－，x＝4，∴x＋y＝4－＝.]4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B．C．D．B[对于B，AP＝，则n·AP＝(3,1,2)·＝0，∴n⊥AP，则点P在平面α内．]5.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是()1A．(1，－2,4)B．(－4,1，－2)C．(2，－2,1)D．(1,2，－2)B[设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(1,0,2)，∴AE＝(0,2,1)，AF＝(－1,0,2)设向量n＝(x，y，z)是平面AEF的一个法向量则，取y＝1，得x＝－4，z＝－2∴n＝(－4,1，－2)是平面AEF的一个法向量因此，只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故选B.]二、填空题6．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于________．1[由l∥α可知a·n＝0，即2－2x＝0，所以x＝1.]7．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．或[设平面ABC的单位法向量是n＝(x，y，z)，则解得或所以平面ABC的单位法向量是或]8．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.2∶3∶(－4)[因为AB＝，AC＝，又因为a·AB＝0，a·AC＝0，所以解得所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．]三、解答题9.如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，2利用向量法证明：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.[证明](1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．由正方体的性质，知AD⊥平面CC1D1D，所以DA＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．由于MN＝(0,1，－1)，则MN·DA＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN⊥DA.又MN⊄平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D.(2)由于MP＝(0,2,0)，所以MP∥DC，所以MP∥DC.由于MP⊄平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D.又由(1)知，MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D.10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?3[解]建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)．设Q(0,2，c)，∴OA＝(1，－1,0)，OP＝(－1，－1,1)，BQ＝(－2,0，c)，BD1＝(－2，－2,2)．设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，则⇒令x＝1，则y＝1，z＝2，∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量．∴n1·BQ＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，这时n1·BD1＝－2－2＋4＝0，符合题意．∴故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.11．(多选题)如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC中点，若平行六面体的各棱长均相等，则下列说法中正确的是()A．A1M∥D1PB．A1M∥B1QC．A1M∥平面DCC1D1D．A1M∥平面D1PQB1ACD[连接PM(图略)，因为M、P分别为AB、CD的中点，故PM平行且等于4AD.由题意知AD平行且等于A1D1.故PM平行且等于A1D1.所以PMA1D1为平行四边形，故A...
