课时达标训练(十一)椭圆A组——大题保分练1．(2019·扬州期末)如图，在平面直角坐标系中，椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右顶点分别为A，B，线段AB的长为4.点P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l1⊥PA，l2⊥PB，直线l1，l2交于点C.(1)若点C的横坐标为－1，求点P的坐标；(2)设直线l1与椭圆M的另一个交点为Q，且AC＝λAQ，求λ的取值范围．解：由题意得解得∴b2＝a2－c2＝3，∴椭圆M的方程是＋＝1且A(－2，0)，B(2，0)．法一：(1)设P(x0，y0)，则kPA＝， l1⊥PA，∴直线l1的方程为y＝－(x＋2)．同理得直线l2的方程为y＝－(x－2)．联立方程，得解得又＝＝－y0，∴点C的坐标为. 点C的横坐标为－1，∴x0＝1，又P在椭圆M上，且位于第一象限，∴y0＝＝，∴点P的坐标为.(2)设Q(xQ，yQ)， AC＝λAQ，∴解得 点Q在椭圆M上，∴＋＝1，得7x－36(λ－1)x0＋72λ－100＝0，解得x0＝2(舍)或x0＝. P在椭圆M上，且位于第一象限，∴0＜＜2，解得＜λ＜，∴λ的取值范围为.法二：(1)设AP的斜率为k，P(x0，y0)， P在椭圆M上，且位于第一象限，∴0＜k＜. k·kBP＝·＝＝－.∴直线BP的斜率为－.联立方程，得解得1即P. l1⊥PA，∴kAC＝－，则直线l1的方程为y＝－(x＋2)， l2⊥PB，∴kBC＝k，则直线l2的方程为y＝k(x－2)．由得即C. 点C的横坐标为－1，∴＝－1，解得k＝±. 0＜k＜，∴k＝，∴点P的坐标为.(2)设Q(xQ，yQ)，C(xC，yC)，由(1)得直线l1的方程为y＝－(x＋2)，联立方程，得得(3k2＋4)x2＋16x＋16－12k2＝0，得xQ＝， AC＝λAQ，∴λ＝＝＝＝1＋， 0＜k＜，∴λ∈，∴λ的取值范围为.2．(2019·苏北三市一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点到右准线l的距离为1.过x轴上一点M(m，0)(m为常数，且m∈(0，2))的直线与椭圆C交于A，B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q.(1)求椭圆C的标准方程；(2)试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解：(1)由题意，得解得所以a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)由题意，当直线AB的斜率不存在或为零时显然不符合题意，所以设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－m)(k≠0)．又准线方程为x＝2，所以P(2，k(2－m))，由得x2＋2k2(x－m)2＝2，即(1＋2k2)x2－4k2mx＋2k2m2－2＝0，xA，B＝，xA＋xB＝，2所以xD＝·＝，yD＝k＝－，所以kOD＝－，从而直线OD的方程为y＝－x，(也可用点差法求解)所以Q，所以以PQ为直径的圆的方程为(x－2)2＋[y－k(2－m)]＝0，即x2－4x＋2＋m＋y2－y＝0因为该式对任意k≠0恒成立，令y＝0，得x＝2±，所以以PQ为直径的圆经过定点(2±，0)．3．(2018·南通、泰州一调)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线y＝于点Q，求＋的值．解：(1)由题意得解得所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，OP＝，OQ＝，所以＋＝1.当OP的斜率不为0时，设直线OP的方程为y＝kx.由得(2k2＋1)x2＝2，解得x2＝，所以y2＝，所以OP2＝.因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为y＝－x.由得x＝－k，所以OQ2＝2k2＋2.所以＋＝＋＝1.综上，可知＋＝1.4．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的离心率为，一个焦点到相应的准线的距离为3，圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距)，直线l：y＝kx＋m(k>0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点，分别设为A，B.(1)求椭圆M的方程和直线l的方程；(2)试在圆N上求一点P，使＝2.解：(1)由题意知解得a＝2，c＝1，所以b＝，所以椭圆M的方程为＋＝1.3圆N的方程为(x－1)2＋y2＝5，联立消去y，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①因为直线l：y＝kx＋m与椭圆M只有一个公共点，所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0得m2＝3＋4k2,②由直线l：y＝kx＋m与圆N只有一个公共点，得＝，即k2＋2km＋m2＝5＋5k2，③将②代入③得km＝1，④由②④且k>0，得k＝，m＝2.所以直线l的方程为y＝x＋2.(2)将k＝，m＝2代入①，可得A.又过切点B的半径所在的直线l′为y＝－2x＋2，所以...
