学业分层测评(十八)平面向量基本定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．【解析】如图所示，AD与AB为不共线向量，可以作为基底.CA与DC为不共线向量，可以作为基底.DA与BC，OD与OB均为共线向量，不能作为基底．【答案】①③2．已知向量a和b不共线，实线x，y满足向量等式(2x－y)a＋4b＝5a＋(x－2y)b，则x＋y的值等于________．【解析】由平面向量基本定理得解得∴x＋y＝1.【答案】13．(2016·苏州高一检测)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.【解析】∵AD＝2DB，∴CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB.又∵CD＝CA＋λCB，∴λ＝.【答案】4．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为________．【解析】易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，∴∴k＝－8.【答案】－85．如图237所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若OP＝aOP1＋bOP2，且点P落在第Ⅰ部分，则a________0，b________0.(填“＞”或“＜”)图237【解析】由向量的分解可知，a＜0，b＞0.【答案】＜＞6．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝________.【解析】由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，∴＝2.【答案】27．(2016·南京高一检测)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.【导学号：06460053】【解析】设BC＝b，BA＝a，则AF＝b－a，AE＝b－a，AC＝b－a，代入AC＝λAE＋μAF，得b－a＝b－a，1即解得λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.【答案】8．如图238，在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则AD＋BE＋CF＝________.图238【解析】原式＝(AB＋AC)＋(BA＋BC)＋(CB＋CA)＝0.【答案】0二、解答题9．如图239，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使DG＝DC，试以a，b为基底表示向量AF与EG.图239【解】AF＝AB＋BF＝AB＋BC＝AB＋AD＝a＋b.EG＝EA＋AD＋DG＝－AB＋AD＋DC＝－a＋b＋a＝－a＋b.10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.【解】设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴∴∴a＝－b＋c.能力提升]1．如图2310，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD＝________.图2310【解析】∵AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AC＋AB＝b＋a.【答案】b＋a22.如图2311，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为________．图2311【解析】设NP＝λNB，NP＝AP－AN＝mAB＋AC－AC＝mAB－AC，λNB＝λ(AB－AN)＝λ＝λAB－AC，∴∴m＝λ＝.【答案】3．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足AM＝AB＋AC，则△ABM与△ABC的面积之比为________．【解析】如图，分别在AB，AC上取点E，F，使AE＝AB，AF＝AC，在BC上取点G，使BG＝BC，则EG∥AC，FG∥AE，∴AG＝AE＋AF＝AM，∴M与G重合，∴＝＝.【答案】4．如图2312，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB，AC于M，N两点，若AM＝xAB，AN＝yAC，试问：＋是否为定值？图2312【解】设AB＝a，AC＝b，则AM＝xa，AN＝yb，AG＝AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，∴MG＝AG－AM＝(a＋b)－xa＝a＋b，MN＝AN－AM＝yb－xa＝－xa＋yb.∵MG与MN共线，∴存在实数λ，使MG＝λMN，∴a＋b＝λ(－xa＋yb)＝－λxa＋λyb.∵a与b不共线，∴消去λ，得＋＝4，∴＋为定值.3
