《直线方程》专题辅导（肇庆市实验中学，广东谭渊526100）内容提要：本文是从知识要点、典型题型和解题技巧、一题多解、错解分析等方面，对《有向线段、定比分点》、《直线方程》进行专题复习，期望对高三的同学有所帮助。知识要点：有向线段的数量和长度、两点间的距离、线段的定比分点、线段的中点坐标公式、三角形的重心坐标公式、直线的斜率、直线方程的几种形式。典型题型和解题技巧一、有向线段、定比分点１．两点间距离公式的应用例１已知：，求证：证明：如图１，设Ａ，Ｂ坐标分别为（１，a）和(1,b)则|a–b|=|AB|.当时，则三角形ＡＯＢ中，由||AO|-|BO||<|AB|得｜f(a)-f(b)|<|a-b|当a=b时，|OA|=|OB|,|a-b|=0,故有｜f(a)-f(b)|=|a-b|综上所述，得２．定比分点公式的应用（１）公式的“逆用”例２如图２，已知两点Ａ（４，１）和Ｂ（－１，３），求线段ＡＢ和y轴交点Ｍ的坐标。解：设点Ｍ的坐标为（０,y0）,且，则，由定比分点公式得,于是用心爱心专心OyxB(-1,3)A(4,1)图2OyxA(1,a)B(1,b)图1xyOA(5,-1)B(-1,7)DC图3，即点M的坐标是。（２）注意利用平面几何知识例3如图3，已知A（5，-1），B（-1，7），C（1，2），求平分线AD的长。解：则由设点D（x0,y0）,则，即，于是说明：本例运用了三角形角平分线的性质：若AD是的内角平分线，则|AB|：|AC|=|BD|：|CD|，在学习解析几何时，要尽可能地挖掘出所给图形的几何性质，以简化解题。二、点斜式和斜截式1.斜率的求法求直线的斜率有三种方法（1）利用定义；（2）利用“两点式”：；（3）利用直线的斜截式方程：．例4已知直线L的方程为当在实数范围变动时，求L的倾斜角的取值范围。解：由已知得设直线L的倾斜角为，则，从图4中可知，直线的倾斜角的取值范围是说明：（1）所有直线都有倾斜角，倾斜角的取值范围是[0，]。用心爱心专心xyO图43333(2)非所有的直线都有斜率，与x轴垂直的直线就不存在斜率.2.k参数在直线的点斜式和斜截式方程中,都有直线的斜率k,为了求直线的方程,常常需要确定它的斜率,此时,可以把k作为参数引入,对解题会有很大的帮助.例5直线L过定点A(-2,3),且与两轴围成的三角形面积为4,求直线L的方程.解:依题意可知,L不与两坐标轴垂直,设直线的方程为:,则L在x轴、y轴上的截距分别为，根据题意，得，即当时，解之得；当时，解之得所以，所求的直线L的方程为：三、两点式和截距式1．直线截距的求法求直线截距的方法有两种：（1）把直线化为截距式；（2）在直线方程中，令y=0得，再令得，则就是直线在x轴、y轴上的截距。例6已知直线L过点P（3，2），且与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A、B（如图6）；（1）求的面积取最小值时的L的方程；（2）求直线L在两坐标轴上截距之和的最小值。解：（1）设A、B坐标依次为（a,0）、(0,b)（显然a>3），则直线L的方程为,将P（3，2）代入得，于是，故的面积S=用心爱心专心OxyABL图6所以，当，故直线L的方程为用心爱心专心
