第61课双曲线一、填空题1.(2014·海珠模拟)已知双曲线2xm-y2=1的离心率是2,那么实数m的值是.2.(2014·天津卷)已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,那么该双曲线的方程为.3.双曲线x2-4y2=4的离心率为.4.(2014·通州模拟)已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为2,且右焦点为(3,0),那么该双曲线的方程为.5.(2014·全国卷)已知点F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,那么点F到双曲线C的一条渐近线的距离为.6.已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0).若该双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,则该双曲线的方程为.7.(2014·衡水模拟)已知双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与该双曲线的渐近线的一个交点为A(3,4),则此双曲线的方程为.8.(2014·邢台一中模拟)以双曲线29x-216y=1的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程是.二、解答题9.(2014·辽宁摸底)已知F1,F2是双曲线C:22xa-22yb=1(a>b,b>0)的左、右焦点,过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点,若AB∶BF2∶AF2=3∶4∶5,求双曲线的离心率.110.(2014·重庆卷)设F1,F2分别为双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在一点P使得PF1+PF2=3b,且PF1·PF2=94ab,求该双曲线的离心率.11.(2014·江西卷)如图,已知双曲线C:22xa-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在双曲线C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)设过双曲线C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:02xxa-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=32相交于点N,证明:当点P在双曲线C上移动时,MFNF恒为定值,并求此定值.(第11题)2第61课双曲线1.13解析:由题意知,双曲线的离心率e=1mm=2,解得m=13.2.25x-220y=1解析:由已知得ba=2,所以b=2a.在方程y=2x+10中,令y=0,得x=-5,所以c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为25x-220y=1.3.52解析:由题意知a2=4,b2=1,则c2=a2+b2=1+4=5,所以e=52.4.x2-22y=1解析:由题意知ba=2,即b=2a,且c=3,可解得a=1,b=2,故双曲线的方程为x2-22y=1.5.3解析:由已知得双曲线C的标准方程为23xm-23y=1,则c=33m.设一个焦点F(33m,0),一条渐近线l的方程为y=1mx,即x-my=0,所以焦点F到渐近线l的距离d=331mm=3.6.22x-22y=1解析:由题意得a=b,又c=2=22ab.=2a,所以a=2,故双曲线的方程为22x-22y.=1.37.29x.-216y=1解析:由题意可知OA=5,所以F1(-5,0),F2(5,0),则c=5①.由A(3,4)在y=bax上,得ba=43②.由①②得a=3,b=4,所以双曲线的方程为29x-216y=1.8.(x-5)2+y2=16解析:双曲线29x-216y=1的右焦点为(5,0),渐近线为y=±43x,所以所求圆的圆心为(5,0),半径r=4,故圆的方程为(x-5)2+y2=16.9.因为AB∶BF2∶AF2=3∶4∶5,令AB=3m(m>0),BF2=4m,AF2=5m,所以AB⊥BF2.由线的定义知AF2-AF1=2a,BF1-BF2=2a,所以AF1=5m-2a,BF1=4m+2a,因为BF1=AF1+AB,所以4m+2a=5m-2a+3m,即m=a,所以由勾股定理知(6a)2+(4a)2=(2c)2,解得ca=13(负值舍去),故e=13.10.因为P是双曲线22xa-22yb=1(a>0,b>0)上一点,所以|PF1-PF2|=2a,又PF1+PF2=3b,所以(PF1+PF2)2-(PF1-PF2)2=9b2-4a2,所以有9ab=9b2-4a2,即92ba-9ba-4=0,解得ba=43,所以e2=22ca=1+2ba=259,所以e=53.11.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=21a.由题意,直线OB的方程为y=-1ax,直线BF的方程为y=1a(x-c),所以B,-22cca.4又直线OA的方程为y=1ax,则A,cca,所以kAB=--2-2ccaacc=3a.又因为AB⊥OB,所以3a·1-a=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为23x-y2=1.(2)由(1)知a=3,则直线l的方程为03xx-y0y=1(y0≠0),即y=00-33xxy(y0≠0).因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M002-32,3xy,直线l与直线x=32的交点为N00-23,22xy,则22MFNF=20022002-33-23-222xyxy=43·202200(2-3)33(-2)xyx.又点P(x0,y0)是双曲线C上一点,则203x-20y=1,代入上式得22MFNF=43,所以MFNF=233,为定值.5
