第31练几何证明选讲、不等式选讲[明晰考情]1.命题角度：三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理；圆内接四边形的性质与判定；含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用.2.题目难度：中档难度.考点一三角形相似的判定及应用方法技巧证明三角形相似可以结合圆的某些性质、定理，要注意等量的代换.1.(2016·江苏)如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90°，BD⊥AC，D为垂足，E是BC的中点，求证：∠EDC＝∠ABD.证明在△ADB和△ABC中，因为∠ABC＝90°，BD⊥AC，∠A为公共角，所以△ADB∽△ABC，所以∠ABD＝∠C.在Rt△BDC中，因为E是斜边BC的中点，所以ED＝EC，从而∠EDC＝∠C，所以∠EDC＝∠ABD.2.(2017·江苏)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.(1)求证：∠PAC＝∠CAB；(2)求证：AC2＝AP·AB.证明(1)因为PC切半圆O于点C，所以∠PCA＝∠CBA.因为AB为半圆O的直径，所以∠ACB＝90°.因为AP⊥PC，所以∠APC＝90°，因此∠PAC＝∠CAB.(2)由(1)知，△APC∽△ACB，故＝，即AC2＝AP·AB.13.(2018·苏州模拟)如图，AB，AC与圆O分别切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F.求证：PF2＝PD·PE.证明连结PB，PC，因为∠PCF，∠PBD分别为圆弧BP上的圆周角和弦切角，所以∠PCF＝∠PBD.因为PD⊥BD，PF⊥FC，所以△PDB∽△PFC，故＝.同理，∠PBF＝∠PCE，又PE⊥EC，PF⊥FB，所以△PFB∽△PEC，故＝，所以＝，即PF2＝PD·PE.4.如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE·CD＝BD·CE.证明因为AB是⊙O的切线，所以∠ABD＝∠AEB.又因为∠BAD＝∠EAB，所以△BAD∽△EAB，所以＝.同理，＝.因为AB，AC是⊙O的切线，所以AB＝AC.因此＝，即BE·CD＝BD·CE.考点二圆有关定理、性质的应用方法技巧和圆有关的计算证明问题，要灵活运用圆和三角形的性质，以目标为导向，根据需要找角、线段长度的关系，适时进行等量代换.5.(2018·江苏)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C.若PC＝2，求BC的长.2证明如图，连结OC.因为PC与圆O相切，所以OC⊥PC.又因为PC＝2，OC＝2，所以OP＝＝4.又因为OB＝2，从而B为Rt△OCP斜边的中点，所以BC＝2.6.(2018·南京模拟)如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC，求证：CA＝3CB.证明如图，连结OD，因为DA＝DC，所以∠DAO＝∠C.在圆O中，AO＝DO，所以∠DAO＝∠ADO，所以∠DOC＝2∠DAO＝2∠C.因为CD为圆O的切线，所以∠ODC＝90°，从而∠DOC＋∠C＝90°，即2∠C＋∠C＝90°，故∠C＝30°，所以OC＝2OD＝2OB，所以CB＝OB，所以CA＝3CB.7.(2018·苏州模拟)如图，圆O的直径AB＝4，C为圆周上一点，BC＝2，过C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，AD分别与直线l和圆O交于点D，E，求线段AE的长.3解在Rt△ABC中，因为AB＝4，BC＝2，所以∠ABC＝60°.因为l为过点C的切线，所以∠DCA＝∠ABC＝60°.因为AD⊥DC，所以∠DAC＝30°.连结OE，在△AOE中，因为∠EAO＝∠DAC＋∠CAB＝60°，且OE＝OA，所以AE＝AO＝AB＝2.8.如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C.(1)证明：∠CBD＝∠DBA；(2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径.(1)证明因为DE为⊙O的直径，所以∠BED＋∠EDB＝90°，又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°，从而∠CBD＝∠BED.又AB切⊙O于点B，所以∠DBA＝∠BED，所以∠CBD＝∠DBA，(2)解由(1)知BD平分∠CBA，则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3.所以AC＝＝4，所以AD＝3.由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6，故DE＝AE－AD＝3，即⊙O的直径为3.考点三不等式的证明方法技巧证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明.9.已知m，n是正数，证明：＋≥m2＋n2.证明 ＋－m2－n2＝＋＝＝，又m，n均为正数，∴＋－m2－n2＝≥0，∴＋≥m2＋n2.410.设a，b，c均为正数，abc＝1.求证：＋＋≥＋＋.证明由a，b，c为正数，根据算术—几何平均不等式，得＋≥，＋≥，＋≥.将此三式...
