第29练立体几何中的向量方法、抛物线[明晰考情]1.命题角度：空间角的计算，顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质.2.题目难度：中档难度.考点一空间角的计算要点重组设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角设l，m的夹角为θ，则cosθ＝＝.(2)线面夹角设直线l与平面α的夹角为θ，则sinθ＝|cos〈a，μ〉|＝.(3)二面角设α－l－β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|cosθ|＝|cos〈μ，v〉|＝.方法技巧利用空间向量求解立体几何中的综合问题，要根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，将题中条件数量化，利用计算方法求解几何问题.1.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD＝PD＝4，∠BAD＝60°，∠ADP＝120°，点E为PA的中点.(1)求证：BE∥平面PCD；(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求直线BE与平面PAC所成角的正弦值.(1)证明取PD中点F，连结CF，EF.因为点E为PA的中点，所以EF∥AD且EF＝AD，又因为BC∥AD且BC＝AD，所以EF∥BC且EF＝BC，所以四边形BCFE为平行四边形，所以BE∥CF，1又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，所以BE∥平面PCD.(2)解在平面ABCD中，过点D作DG⊥AD，在平面PAD中，过点D作DH⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，DG⊂平面ABCD，所以DG⊥平面PAD，又DH⊂平面PAD，所以DG⊥DH，所以DA，DG，DH两两互相垂直.以D为原点，DA，DG，DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D－xyz(如图)，则A(4，0，0)，B(3，，0)，C(1，，0)，P，E，所以AC＝(－3，，0)，AP＝，EB＝，设n＝(x，y，z)是平面ACP的一个法向量，则即取x＝1，则y＝，z＝，得n＝(1，，).设直线BE与平面PAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈n，EB〉|＝＝，所以直线BE与平面PAC所成角的正弦值为.2.如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD⊥平面CDE；(3)求二面角A－CD－E的余弦值.(1)解如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.设AB＝1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，M，A(0,0,0).2则BF＝(－1,0,1)，DE＝(0，－1,1)，于是cos〈BF，DE〉＝＝＝.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明由AM＝，CE＝(－1,0,1)，AD＝(0,2,0)，可得CE·AM＝0，CE·AD＝0.因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A，AM⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，故CE⊥平面AMD.又CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.(3)解设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则即令x＝1，可得u＝(1,1,1).又由题设知，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1).所以cos〈u，v〉＝＝＝.因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为.3.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝AB＝1，M是PB的中点.(1)证明：平面PAD⊥平面PCD；(2)求AC与PB所成角的余弦值；(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，M.因为AP＝(0,0,1)，DC＝(0,1,0)，故AP·DC＝0，所以AP⊥DC.由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，所以DC⊥平面PAD.又DC⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.(2)解因为AC＝(1,1,0)，PB＝(0,2，－1)，所以|AC|＝，|PB|＝，AC·PB＝2，3所以cos〈AC，PB〉＝＝.(3)解设平面AMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1).则取x1＝1，得y1＝－1，z1＝2，所以n1＝(1，－1,2).同理可得平面BMC的一个法向量为n2＝(1,1,2).因为cos〈n1，n2〉＝＝＝.所以平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值为.4.(2018·江苏省邗江中学调研)如图，在三棱锥A－BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记＝λ.(1)当λ＝时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；(2)当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求λ的值.解连结CE,以EB，EC，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立如...
