高二数学圆锥曲线与直线的位置关系人教实验版（B）知识精讲VIP免费

高二数学圆锥曲线与直线的位置关系人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：圆锥曲线与直线的位置关系二.学习目标掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决与直线和圆锥曲线的位置关系相关的一些问题。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决。三.考点分析1.判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时，通常将直线l的方程0CByAx（A、B不同时为0）代入圆锥曲线r的方程0),(yxF。消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或者变量y）的一元二次方程。即0),(0yxFCByAx，消去y后的02cbxax。（1）当0a时，则有0，直线l与曲线r相交；0，直线l与曲线r相切；0，直线l与曲线r相离。（2）当0a时，即得到一个一次方程，则l与r相交，且只有一个交点，此时，若r为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线是平行；若r为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行。2.连结圆锥曲线上的两点的线段称为圆锥曲线的弦。直线l：0),(yxf，曲线r：0),(yxF，l与r的两个不同的交点A、B，),(11yxA，),(22yxB，则),(11yx，),(22yx是方程组0),(0),(yxFyxf的两组解，方程组消元后化为关于x（或者y）的一元二次方程02CBxAx（0A），判别式ACB42，应有0，所以1x、2x是方程02CBxAx的解，由根与系数的关系（韦达定理）求出ABxx21，ACxx21。所以A、B两点间距离为2122122124)(11xxxxkxxkAB，即弦长公式。也可以写成关于y的形式，其弦长公式为22111kyyAB。3.已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程。（1）AB是椭圆12222byax（0ba）的一条弦，中点M坐标为),(00yx，则AB的斜率为0202yaxb，运用点差法求AB的斜率，设),(11yxA，),(22yxB。A、B都在椭圆上，11222222221221byaxbyax，两式相减得02222122221byyaxx。02212122121byyyyaxxxx，即02022122122121yaxbyyaxxbxxyy。故0202yaxbkAB。（2）运用类比的手法可以推出，已知AB是双曲线12222byax的弦，中点),(00yxM，则0202yaxbkAB；（3）已知抛物线pxy22（0p）的弦AB的中点),(00yxM，则002ypxkAB。4、椭圆、双曲线的通径（最短弦）为ab22，焦准距为p=cb2，抛物线的通径为2p，焦准距为p;双曲线12222byax（a>0，b>0）的焦点到渐近线的距离为b;5、抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）AB＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=42p;6、过椭圆12222byax（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则)(221xxeaAB，过右焦点的弦)(221xxeaAB；【典型例题】例1.已知椭圆及直线.（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程.分析：直线与椭圆有公共点，等价于它们的方程组成的方程组有解.因此，只须考虑方程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式.已知弦长，由弦长公式就可求出.解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即.，解得.（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，.根据弦长公式得.解得.因此，所求直线的方程为.说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.例2.直线与双曲线相交于、两点.当为何值时，以为直径的圆经过坐标原点.解：由方程组：得因为直线与双曲线交于、两点∴解得.设，，则：，，而以为直径的圆过原点，则，∴..于是，即.解得满足条件.故当时，以为直径的圆过原点.例3.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点、，求线段的长。解：由抛物线的标准方程可知，焦点，准线方程.由题设，直线的方程为：.代入抛物线方程，整理得：.解法一：解上述方程得：，分...