【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第六章第34课平面向量的基本定理及坐标表示要点导学要点导学各个击破平面向量基本定理的应用在梯形ABCD中,AB∥CD,M,N分别是AD,BC的中点,DCAB=k(k≠1),设AD�=e1,AB�=e2,选择基底{e1,e2},试写出向量DC�,BC�,MN�在此基底下的分解式.(例1)[思维引导]由DCAB=k(k≠1),易求出DC�,再由AB�+BC�+CD�+DA�=0,求得BC�;最后利用MN�+NB�+BA�+AM�=0,求得MN�.[解答]因为AB�=e2,且DCAB=k,所以DC�=kAB�=ke2.又AB�+BC�+CD�+DA�=0,所以BC�=-AB�-CD�-DA�=-AB�+DC�+AD�=-e2+ke2+e1=e1+(k-1)e2.又MN�+NB�+BA�+AM�=0,所以MN�=-NB�-BA�-AM�=BN�+AB�-AM�=12BC�+e2-12AD�=12[e1+(k-1)e2]+e2-12e1=12ke2.[精要点评]应用平行向量的基本定理及向量的多边形加法法则是解决本题的关键.(2014·镇江期末)已知△ABC中,点D,E分别为边AC,AB上的点,且DA=2CD,EB=2AE,若BC�=a,CA�=b,则以a,b为基底表示DE�=.[答案]-13a+13b[解析]因为DE�=AE�-AD�=13AB�-2-3CA�=13(CB�-CA�)+23CA�=-13a+13b.1平面向量的坐标运算已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB�=a,BC�=b,CA�=c,且CM�=3c,CN�=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求点M,N的坐标及向量MN�的坐标.[解答]由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(6,-42).(2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),所以-65,-38-5,mnmn解得-1,-1.mn(3)设O为坐标原点,因为CM�=OM�-OC�=3c,所以OM�=3c+OC�=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),所以M(0,20).又CN�=ON�-OC�=-2b,所以ON�=-2b+OC�=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),所以N(9,2).所以MN�=(9,-18).[精要点评]向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.(2014·灌云高级中学)已知向量a=(1,-3),b=(4,-2),若(λa+b)∥b,则λ=.[答案]0[解析]由题意得λa+b=λ(1,-3)+(4,-2)=(λ+4,-3λ-2),由(λa+b)∥b,得(λ+4)×(-2)-(-3λ-2)×4=0,解得λ=0.利用平面向量的坐标表示解决综合问题如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.2(例3)[思维引导]两线段相交可反映为两组向量分别共线来处理.[解答]设P(x,y),则OP�=(x,y),OB�=(4,4).因为OP�,OB�共线,所以4x-4y=0,即x=y.①又CP�=(x-2,y-6),CA�=(2,-6),且CP�,AC�共线,所以-6(x-2)-2(y-6)=0,解得x=3,y=3,②所以P(3,3).[精要点评]坐标运算往往含有待定的未知参数,转化为方程求解即可.本题还可用求直线方程的方法求坐标.(2014·陕西卷)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.(1)若PA�+PB�+PC�=0,求|OP�|;(2)设OP�=mAB�+nAC�(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.[解答](1)方法一:因为PA�+PB�+PC�=0,又PA�+PB�+PC�=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以6-30,6-30,xy解得2,2,xy即OP�=(2,2),故|OP�|=22.方法二:因为PA�+PB�+PC�=0,则(OA�-OP�)+(OB�-OP�)+(OC�-OP�)=0,所以OP�=13(OA�+OB�+OC�)=(2,2),所以|OP�|=22.3(变式)(2)因为OP�=mAB�+nAC�,所以(x,y)=(m+2n,2m+n),所以2,2,xmnymn两式相减得m-n=y-x.令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.在△ABC中,角A所对的边长为2,向量m=22,2-12BCcos,向量n=,-12Asin.(1)求m·n取得最大值时角A的大小;(2)在(1)的条件下,求△ABC面积的最大值.[规范答题](1)m·n=2sin2A-22-12BCcos=2sin2A-cos(B+C).(2分)因为A+B+C=π,所以B+C=π-A.于是m·n=2sin2A+cosA=-2sin22A+2sin2A+1=-221-22Asin+32.(4分)因为2A∈0,2,所以当且仅当sin2A=12,即A=3时,m·n取得最大值32.故m·n取得最大值时角A=3.(6分)(2)设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,4由余弦定理,得b2+c2-a2=2bccosA,即bc+4=b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时取等号.(10分)又S△ABC=12bcsinA=34bc≤3,当且仅当a=b=c=2时,△ABC的面积取得最大值3.(14分)1.已知a=(1,y),b=(x,-2),且2a-3b=(5,8),那么x+y=.[答案]02.若向量AB�=(1,2),BC�=(3,4),则AC�=.[答案](4,6)3.已知点M(3,-2),N(-5,-1).若MP�=12MN�,则点P的坐标为.[答案]3-1,-2[解答]设P(x,y),则MP�=(x-3,y+2),MN�=(-8,1),由MP�=12MN�,得(x-3,y+2)=12(-8,1),解得x=-1,y=-32.4.(2014·陕西卷)设0<θ<2,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1).若a∥b,则tanθ=.[答案]12[解析]因为向量a∥b,所以sin2θ-cosθ·cosθ=0,又cosθ≠0,所以2sinθ=cosθ,故tanθ=12.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第67-68页).56
