专题强化训练(一)数列(建议用时：60分钟)一、选择题1．一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么()A．它的首项是－2，公差是3B．它的首项是2，公差是－3C．它的首项是－3，公差是2D．它的首项是3，公差是－2A[⇒⇒a1＝－2，d＝3．]2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，则此数列的通项an等于()A．n2＋1B．n＋1C．1－nD．3－nD[因为an＋1－an＋1＝0，所以an＋1－an＝－1．所以数列{an}是以－1为公差的等差数列，又a1＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)(－1)＝3－n．]3．等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1B．a3＝1C．a4＝1D．a5＝1B[ T5＝a1a2a3a4a5＝a·a·a3＝1，∴a3＝1．]4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9A[设等差数列{an}的公差为d， a4＋a6＝－6，∴a5＝－3，∴d＝＝2，∴a6＝－1<0，a7＝1>0，故当等差数列{an)的前n项和Sn取得最小值时，n等于6．]5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3A[显然等比数列{an}的公比q≠1，则由＝＝1＋q5＝⇒q5＝－，故＝＝＝＝．]二、填空题6．若a2，a3，a4，a5成等比数列，其公比为2，则＝________．[由已知得a3＝2a2，a4＝4a2，a5＝8a2，所以＝＝＝．]7．数列{an}中的前n项和Sn＝n2－2n＋2，则通项公式an＝________．[当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2－2n＋2)－[(n－1)2－2(n－1)＋2]＝2n－3．又n＝1时，2n－3≠a1，1所以有an＝．]8．在等差数列{an}中，Sn是它的前n项和．若S16＞0，且S17＜0，则当Sn最大时n的值为________．8[因为S16＝＝8(a8＋a9)＞0，所以a8＋a9＞0．因为S17＝＝17a9＜0．所以a9＜0，所以a8＞0．故当n＝8时，Sn最大．]三、解答题9．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn．(1)求{an}的通项公式；(2)求{bn}的前n项和．[解](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2．所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an＝3n－1．(2)由(1)和anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得bn＋1＝，因此数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝＝－．10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋＝0．(1)求证：数列是等差数列；(2)若数列{bn}满足b1＝2，＝，求{bn}的前n项和Sn．[解](1)若an＋1＝0，则an＝0，这与a1＝1矛盾，∴an＋1≠0，由已知得2anan＋1－an＋an＋1＝0，∴－＝2，又＝1，∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，＝1＋2(n－1)＝2n－1，由＝可知an＋1bn＋1＝2anbn，又a1b1＝2，∴数列{anbn}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴anbn＝2×2n－1＝2n，∴bn＝(2n－1)·2n，∴Sn＝1·21＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，则2Sn＝1·22＋3·23＋5·24＋…＋(2n－1)·2n＋1，∴－Sn＝2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1＝(3－2n)·2n＋1－6，∴Sn＝(2n－3)·2n＋1＋6．1．已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N＋，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．110D[因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3a9，又因为公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，通项公式为an＝20＋(n－1)(－2)＝22－2n，所以S10＝＝5(20＋2)＝110．]2．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则2S5＝()A．35B．33C．31D．29C[由条件可知即由①得a1q3＝2．③把③代入②得2＋2×2q3＝，∴q3＝．即q＝．∴a1＝16．∴S5＝＝31．]3．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和，若对任意n∈N＋，Sn∈{2,3}，则k的最大值为________．4[由题意，Sn∈{2,3}，故a1＝S1∈{2,3}．将数列写出至最多项，其中有相同的情况舍去，共有如下几种情况：①a1＝2，a2＝0，a3＝1，a4＝－1；②a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1；③a1＝2，a2＝1，a3＝－1，a4＝0；④a1＝3，a2＝0，a3＝－1，a4＝1；⑤a1＝3，a2＝－1，a3＝0，a4＝1；⑥a1＝3，a2＝－1，a3＝1，a4＝0．最多项均只能写到第4项...
