学业分层测评(二十)向量平行的坐标表示(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________.【解析】∵a∥b，∴m＋4＝0，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)，＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．【答案】(－4，－8)2．已知a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x＝________.【解析】设a＝λb，则(－1，x)＝(－λx,2λ)，所以有解得或又a与b方向相同，则λ＞0，所以λ＝，x＝.【答案】3．若A(－1,2)，B(3,1)，C(－2，m)，三点共线，则m＝________.【解析】∵A，B，C三点共线，AB＝(4，－1)，BC＝(－5，m－1)，∴4(m－1)＝－5×(－1)，∴m＝.【答案】4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.【解析】a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)，∵(a－c)∥b，∴＝，∴k＝5.【答案】55．(2016·南通高一检测)若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα＝________.【解析】∵a∥b，∴2cosα＝sinα，∴tanα＝2.【答案】26．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且AB与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.【解析】设B(x，y)，则由题意可知∴∴AB＝(4,6)．又AB∥a，∴4λ＝6，∴λ＝.【答案】7．已知向量m＝(2,3)，n＝(－1,2)，若am＋bn与m－2n共线，则等于________.【导学号：06460059】【解析】am＋bn＝(2a,3a)＋(－b,2b)＝(2a－b,3a＋2b)，m－2n＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵am＋bn与m－2n共线，1∴b－2a－12a－8b＝0，∴＝－.【答案】－8．已知两点M(7,8)，N(1，－6)，P点是线段MN的靠近点M的三等分点，则P点的坐标为________．【解析】设P(x，y)，如图：∴MN＝3MP，∴(－6，－14)＝3(x－7，y－8)，∴解得【答案】二、解答题9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．【解】(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)∵A，B，C三点共线，∴AB＝λBC，λ∈R，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴解得m＝.10．如图2319所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5,0)，D(1,0)，求直线AC与BD交点P的坐标．图2319【解】设P(x，y)，则DP＝(x－1，y)，DB＝(5,4)，CA＝(－3,6)，DC＝(4,0)．由B，P，D三点共线可得DP＝λDB＝(5λ，4λ)．又∵CP＝DP－DC＝(5λ－4,4λ)，由于CP与CA共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0，解之得λ＝，∴DP＝DB＝，∴P的坐标为.能力提升]1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，且(a＋λb)∥c，则λ等于________．【解析】a＋λb＝(1,2)＋(λ，0)＝(1＋λ，2)，因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－6＝0，故λ＝.【答案】2．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是__2______．【解析】a∥b，∴6(x2－2x)－2×3a＝0，即a＝x2－2x，∴a＝(x－1)2－1≥－1.【答案】－1，＋∞)3．已知向量OA＝(1,3)，OB＝(2，－1)，OC＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．【解析】由A，B，C能构成三角形知，A，B，C三点不共线，∴AB与AC不共线，∴AB≠λAC(λ为实数)．∵AB＝OB－OA＝(1，－4)，AC＝OC－OA＝(m，m－5)，∴(1，－4)≠λ(m，m－5)，即≠，∴m≠1.【答案】m≠14．如图2320，在▱OABP中，过点P的直线与线段OA，OB分别相交于点M，N，若OM＝xOA，ON＝yOB(0＜x＜1)．图2320(1)求y＝f(x)的解析式；(2)令F(x)＝＋x，判断F(x)的单调性，并给出你的证明．【解】(1)OP＝AB＝OB－OA，则NM＝OM－ON＝xOA－yOB，MP＝OP－OM＝(OB－OA)－xOA＝－(1＋x)OA＋OB.又NM∥MP，有x－y(1＋x)＝0，即y＝f(x)＝(0＜x＜1)．(2)F(x)在(0,1)上单调递减，证明如下：设0＜x1＜x2＜1，则F(x1)＝＋x1＝＋x1＋1，F(x2)＝＋x2＋1，∴F(x2)－F(x1)＝－＋(x2－x1)＝＋x2－x1＝.又0＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x1x2－1＜0，∴F(x2)－F(x1)＜0，即F(x2)＜F(x1)，∴F(x)在(0,1)上为减函数.3
