2.4向量的数量积A级基础巩固1.已知|a|=3,向量a与b的夹角为,则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.解析:向量a在b方向上的投影为|a|cosθ=3×cos=.答案:D2.(2014·课标全国Ⅱ卷)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=,则a·b=()A.1B.2C.3D.5解析:因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=10,|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=6,两式相减得:4a·b=4,所以a·b=1.答案:A3.(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则AD·AC=()A.5B.4C.3D.2解析:由四边形ABCD为平行四边形,知AC=AB+AD=(3,-1),故AD·AC=(2,1)·(3,-1)=5.答案:A4.已知|e1|=|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=()A.-1B.1C.-D.-解析:因为|e1|=|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,所以(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e+7e1·e2-2e=-6+-2=-.答案:C5.(2015·福建卷)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于()A.-B.-C.D.解析:c=a+kb=(1+k,2+k),又b⊥c,所以1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得k=-.答案:A6.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且a∥b,则|a-b|=________.解析:因为a∥b,所以4+2x=0.所以x=-2,a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6).所以|a-b|=3.答案:37.已知|a|=|b|=|c|=1,且满足3a+mb+7c=0,其中a与b的夹角为60°,则实数m=________.解析:因为3a+mb+7c=0,所以3a+mb=-7c,所以(3a+mb)2=(-7c)2,化简得9+m2+6ma·b=49.又a·b=|a||b|cos60°=,1所以m2+3m-40=0,解得m=5或m=-8.答案:5或-88.已知OA=(-2,1),OB=(0,2),且AC∥OB,BC⊥AB,则点C的坐标是________.解析:设C(x,y),则AC=(x+2,y-1),BC=(x,y-2),AB=(2,1).由AC∥OB,BC⊥AB,得解得所以点C的坐标为(-2,6).答案:(-2,6)9.已知|a|=1,|b|=.(1)若a∥b且同向,求a·b;(2)若向量a·b的夹角为135°,求|a+b|.解:(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°,此时a·b=|a||b|=.(2)|a+b|====1.10.设平面三点A(1,0),B(0,1),C(2,5).(1)试求向量2AB+AC的模;(2)若向量AB与AC的夹角为θ,求cosθ.解:(1)因为A(1,0),B(0,1),C(2,5),所以AB=(0,1)-(1,0)=(-1,1),AC=(2,5)-(1,0)=(1,5).所以2AB+AC=2(-1,1)+(1,5)=(-1,7).所以|2AB+AC|==5.(2)由(1)知AB=(-1,1),AC=(1,5),所以cosθ==.B级能力提升11.已知A,B,C是坐标平面上的三点,其坐标分别为A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正确解析:AC=(-1,-3),AB=(3,-1).因为AC·AB=-3+3=0,所以AC⊥AB.又因为|AC|=,|AB|=,所以AC=AB.所以△ABC为等腰直角三角形.答案:C12.如图所示,△ABC中∠C=90°且AC=BC=4,点M满足BM=3MA,则CM·CB=________.解析:CM·CB=·CB=AB·CB=(CB-CA)·CB=CB2=4.答案:4213.(2014·湖北卷)设向量a=(3,3),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a-λb),则实数λ=________.解析:由题意得,(a+λb)·(a-λb)=0,则a2-λ2b2=18-2λ2=0,解得λ=±3.答案:±314.已知向量a=(2,0),b=(1,4).(1)求|a+b|的值;(2)若向量ka+b与a+2b平行,求k的值;(3)若向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,求k的取值范围.解:(1)因为a=(2,0),b=(1,4),所以a+b=(3,4).则|a+b|=5.(2)因为a=(2,0),b=(1,4),所以ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8).因为向量ka+b与a+2b平行,所以8(2k+1)=16,则k=.(3)因为a=(2,0),b=(1,4),所以ka+b=(2k+1,4),a+2b=(4,8).因为向量ka+b与a+2b的夹角为锐角,所以解得k>-或k≠.15.设向量a,b满足|a|=|b|=1,|3a-b|=.(1)求|a+3b|的值;(2)求3a-b与a+3b夹角的正弦值.解:(1)由|3a-b|=,得(3a-b)2=5,所以9a2-6a·b-b2=5.因为a2=|a|2=1,b2=|b2|=1,所以9-6a·b+1=5.所以a·b=.所以(a+3b)2=a2+6a·b+9b2=1+6×+9×1=15.所以|a+3b|=.(2)设3a-b与a+3b的夹角为θ.因为(3a-b)·(a+3b)=3a2+8a·b-3b2=3×1+8×-3×1=,所以cosθ===.因为0°≤θ≤180°,所以sinθ===.所以3a-b与a+3b夹角的正弦值为.3