高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积练习 苏教版必修4-苏教版高二必修4数学试题VIP专享VIP免费

2.4向量的数量积A级基础巩固1．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.解析：向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝3×cos＝.答案：D2．(2014·课标全国Ⅱ卷)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A．1B．2C．3D．5解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC＝()A．5B．4C．3D．2解析：由四边形ABCD为平行四边形，知AC＝AB＋AD＝(3，－1)，故AD·AC＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：A4．已知|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝()A．－1B．1C．－D．－解析：因为|e1|＝|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋7e1·e2－2e＝－6＋－2＝－.答案：C5．(2015·福建卷)设a＝(1，2)，b＝(1，1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－B．－C.D.解析：c＝a＋kb＝(1＋k，2＋k)，又b⊥c，所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－.答案：A6．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，4)，且a∥b，则|a－b|＝________．解析：因为a∥b，所以4＋2x＝0.所以x＝－2，a－b＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)．所以|a－b|＝3.答案：37．已知|a|＝|b|＝|c|＝1，且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a与b的夹角为60°，则实数m＝________．解析：因为3a＋mb＋7c＝0，所以3a＋mb＝－7c，所以(3a＋mb)2＝(－7c)2，化简得9＋m2＋6ma·b＝49.又a·b＝|a||b|cos60°＝，1所以m2＋3m－40＝0，解得m＝5或m＝－8.答案：5或－88．已知OA＝(－2，1)，OB＝(0，2)，且AC∥OB，BC⊥AB，则点C的坐标是________．解析：设C(x，y)，则AC＝(x＋2，y－1)，BC＝(x，y－2)，AB＝(2，1)．由AC∥OB，BC⊥AB，得解得所以点C的坐标为(－2，6)．答案：(－2，6)9．已知|a|＝1，|b|＝.(1)若a∥b且同向，求a·b；(2)若向量a·b的夹角为135°，求|a＋b|.解：(1)若a∥b且同向则a与b夹角为0°，此时a·b＝|a||b|＝.(2)|a＋b|＝＝＝＝1.10．设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)．(1)试求向量2AB＋AC的模；(2)若向量AB与AC的夹角为θ，求cosθ.解：(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)，所以AB＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1)，AC＝(2，5)－(1，0)＝(1，5)．所以2AB＋AC＝2(－1，1)＋(1，5)＝(－1，7)．所以|2AB＋AC|＝＝5.(2)由(1)知AB＝(－1，1)，AC＝(1，5)，所以cosθ＝＝.B级能力提升11．已知A，B，C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)，C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确解析：AC＝(－1，－3)，AB＝(3，－1)．因为AC·AB＝－3＋3＝0，所以AC⊥AB.又因为|AC|＝，|AB|＝，所以AC＝AB.所以△ABC为等腰直角三角形．答案：C12.如图所示，△ABC中∠C＝90°且AC＝BC＝4，点M满足BM＝3MA，则CM·CB＝________．解析：CM·CB＝·CB＝AB·CB＝(CB－CA)·CB＝CB2＝4.答案：4213．(2014·湖北卷)设向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________．解析：由题意得，(a＋λb)·(a－λb)＝0，则a2－λ2b2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3.答案：±314．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值；(3)若向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，4)．则|a＋b|＝5.(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)．因为向量ka＋b与a＋2b平行，所以8(2k＋1)＝16，则k＝.(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以ka＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)．因为向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，所以解得k>－或k≠.15．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.(1)求|a＋3b|的值；(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．解：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，所以9a2－6a·b－b2＝5.因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b2|＝1，所以9－6a·b＋1＝5.所以a·b＝.所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×＋9×1＝15.所以|a＋3b|＝.(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×－3×1＝，所以cosθ＝＝＝.因为0°≤θ≤180°，所以sinθ＝＝＝.所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为.3