万有引力定律的应用一、万有引力定律：合用于两个质点或均匀球体；r为两质点或球心间的距离；G为万有引力恒量（1798年由英国物理学家卡文迪许运用扭秤装置测出）二、万有引力定律的应用1、应用万有引力定律解决问题的知识常集中于两点：一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即＝；二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即G＝mg从而得出GM＝Rg。2、圆周运动的有关公式：＝，v=r。讨论：①由可得：r越大，v越小。②由可得：r越大，ω越小。③由可得：r越大，T越大。④由可得：r越大，a向越小。点评：需要阐明的是，万有引力定律中两个物体的距离，对于相距很远因而能够看作质点的物体就是指两质点的距离；对于未特别阐明的天体，都可认为是均匀球体，则指的是两个球心的距离。人造卫星及天体的运动都近似为匀速圆周运动。3、常见题型（1）测天体的质量及密度：a.有行星或卫星绕行的中心天体的质量和密度由开普勒第三定律可知，全部绕中心天体运行的卫星或行星的运行周期的平方与其绕行椭圆轨道半长轴的三次方的比值是一种常数，这个常数与中心天体的质量有关，反过来，如果我们要计算一种天体的质量，只需找到围绕该天体运动的卫星或行星的运行周期和轨道半径就能够了。把绕中心天体运行的卫星或行星近似视为做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，建立方程求解。可分下列几个状况：（1）周期T和轨道半径r设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，据万有引力提供向心力，则有，可得中心天体的质量为。（2）运行速度v和轨道半径r设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，速度为v，据万有引力提供向心力，则有，得。（3）运行速度v和运行周期T设中心天体的质量为M，绕中心天体运动的行星或卫星的质量为m，速度为v，运行周期为T，则有，，由以上两式消去r，解得。注意：以上三种状况本质上是同样的，由于已知v、T和ｒ三个物理量中的任意两个都能够求出第三个，如已知v和ｒ以运用求出Ｔ；已知v和T，能够运用求出ｒ。求出天体质量后，再求出天体的体积V=，则。当卫星围绕天体表面做圆周运动时，r=R，。例1为了研究太阳演化的进程需知太阳的质量，已知地球的半径为R，地球的质量为m，日地中心的距离为r，地球表面的重力加速度为g，地球绕太阳公转的周期为T，则太阳的质量为（）A．B．C．D．解析：根据，可得，选项A对的。本题答案为A。例2地球半径为R，在距球心r处（r＞R）有一同时卫星，另有二分之一径为2R的星球A，在距球心3r处也有一同时卫星，它的周期是48h，那么A星球平均密度与地球平均密度的比值为（）A．9∶32B．3∶8C．27∶32D．27∶16解析：根据万有引力提供向心力有可得，计算中心天体质量的公式为；根据题意，A星球的同时卫星的轨道半径是地球同时卫星轨道半径的3倍，而周期是地球同时卫星运行周期的2倍，故A星球的质量是地球的倍，即M星=M地；已知A星球的半径是地球半径的2倍，那么其体积是地球体积的8倍，即V星=8V地，因此，选项C对的。本题答案为C。例3天宫一号于9月29日成功发射，它将和随即发射的神州飞船在空间完毕交会对接，实现中国载人航天工程的一种新的跨越。天宫一号进入运行轨道后，其运行周期为T，距地面的高度为h，已知地球半径为R，万有引力常量为G。若将天宫一号的运行轨道看做圆轨道，求：（1）地球质量M；（2）地球的平均密度。解析：（1）由于将天宫一号的运行轨道看做圆轨道，万有引力充当向心力，即，解得。（2）地球的平均密度：。b.没有行星或卫星绕行的天体质量对于没有行星或卫星绕行的天体，若已知该天体的半径和它表面的重力加速度，可应用万有引力近似等于重力这一关系，建立方程求解，计算出它的质量。设待计算天体的质量为M，半径为R，它表面的重力加速度为，设该天体表面有一物体质量为m，根据万有引力近似等于重力，则有，得此天体的质量为。附带阐明一点，由得出，此式在解析天体运动问题时很有用，被称为黄金代换式。例41798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径为R...
