第六章习题解答1．已知约束优化问题：02)(0)()1()2()(min21222112221xxxgxxxgtsxxxf试从第k次的迭代点Tkx21)(出发，沿由（-11）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(kx。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。[解]1）确定本次迭代的随机方向：TTRS0.4120.9110.2540.5620.2540.2540.5620.56222222)用公式：RkkSxx)()1(计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：176.1)412.0(22822.0911.0212212111RkkRkkSxxSxx176.1822.01kX即：该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。2．已知约束优化问题：0)(0)(025)(124)(min231222211221xxgxxgxxxgtsxxxf试以TTTxxx33,14,12030201为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。[解]1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：935120101030302023314fxfxfx经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。为最好点，0203xx2）计算去掉最坏点02x后的复合形的中心点：3325.2211321003312iiicxLx3）计算反射点1Rx（取反射系数3.1）20.693.30.551422.51.322.5)(1102001RRccRfxxxxx值为可行点，其目标函数经判断4）去掉最坏点1R0301xxxx和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中为最坏点为最好点，011Rxx，进行新的一轮迭代。5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：3.151.7753.30.5533211cx6）计算新一轮迭代的反射点得：，完成第二次迭代。值为可行点，其目标函数经判断413.145.9451.4825123.151.7751.33.151.775)(1201112RRccRfxxxxx3．设已知在二维空间中的点Txxx21，并已知该点的适时约束的梯度Tg11，目标函数的梯度Tf15.0，试用简化方法确定一个适用的可行方向。[解]按公式6-32计算适用的可行方向：)(kkkxfPxfPd/)(kx点的目标函数梯度为：Tkxf15.0)(kx点处起作用约束的梯度G为一个Jn阶的矩阵，题中：n=2，J=1：TkxgG11)(1梯度投影矩阵P为：5.05.05.05.0011111111100111TTGGGGIP则：适用可行方向为：707.0707.010.50.50.50.50.510.50.50.50.50.5kd4．已知约束优化问题：000)(34)(min3322113)43(222121xgxgxgtsxxxxxxf试求在Tkx1/21/40点的梯度投影方向。[解]按公式6-32计算适用的可行方向：)(kkkxfPxfPd/)(kx点的目标函数梯度为：Tkxf125.0125.0)(kx点处起作用约束的梯度G为一个Jn阶的矩阵，题中：n=3，J=1：TkxgG001)(1梯度投影矩阵P为：10001000000100100100110001000111TTGGGGIP则：适用可行方向为：97.0243.00125.0100010.250.1251000100000.12500100kd5．用内点法求下列问题的最优解：0312)(2112221xgtsxxxxfmin（提示：可构造惩罚函数21)(ln)(),(uuxgrxfrx，然后用解析法求解。）[解]构造内点惩罚函数：21)()(),(uuxrxxxxgrxfrx)3ln(12ln212221令惩罚函数对x的极值等于零：0)3/()(222221xrxxdxd得：48366121rxx舍去负根后，得483662rx当Txxr31302该问题的最优解为，时，。6．用外点法求下列问题的最优解：00)(min12221121xgxxgtsxxxf[解]将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=x(1)+x(2)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)gx(2)=-x(1)endsubroutinehhx(n,kh,x,hx)domensionx(n),hx(kh)hx(1)=0.0end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=2KH=0X:.1000000E+01.2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01X:.1000000E+01.2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01PEN=.5000000E+01R=.1000000E+01C=.2000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=21ITE=54ILI=117NPE=3759NFX=0NGR=0R=.1048577E-13PEN=.4229850E-06X:.9493056E-07.7203758E-07FX:.1669681E-06GX:-.7203757E-07-.9493056E-077．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：01)(0)()(2121112xxxhxxgtsxxxflnmin[解]将上述问题按规定写成如下的数学模型：subroutineffx(n,x,fx)dimensionx(n)fx=x(2)-x(1)endsubroutineggx(n,kg,x,gx)dimensionx(n),gx(kg)gx(1)=-log(x(1))]gx(2)=-x(1)gx(3)=-x(2)endsubroutinehhx(n,kh,x,hx)domensionx(n),hx(kh)hx(1)=x(1)+x(2)-1end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：==============PRIMARYDATA==============N=2KG=3KH=1X:.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01X:.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01HX:.2000000E+01PEN=.5942695E+01R=.1000000E+01C=.4000000E+00T0=.1000000E-01EPS1=.1000000E-05EPS2=.1000000E-05===============OPTIMUMSOLUTION==============IRC=29ITE=143ILI=143NPE=1190NFX=0NGR=172R=.7205765E-11PEN=-.9999720E+00X:.1000006E+01.3777877E-05FX:-.1000012E+01GX:-.5960447E-05-.1000006E+01.6222123E-05HX:-.2616589E-06
