例谈反证法在解题中的应用反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.一、证明“至多”或“至少”问题例１已知函数对其定义域内的任意两个实数，当时，都有．求证：至多有一个实数使得．证明：假设存在两个不等实数，使得．不妨设，由条件可知，与式矛盾．故至多有一个实数使得．二、证明“不可能”问题例2给定实数，且，设函数，求证：经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴．证明：假设函数图象上存在两点，使得直线平行于轴．设且．由，得，解得．与已知矛盾．故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.例3双曲线的两支为，正三角形的三顶点位于此双曲线上．求证：不可能在双曲线的同一支上．证明：假设正三角形的三顶点位于双曲线同一支如上，其坐标分别为，不妨设，则一定有．于是．因此，．这说明是钝角三角形，与为正三角形矛盾．故不可能在双曲线的同一支上．三、证明“存在性”或“唯一性”问题例4已知函数的图象过点．问是否存在常数，使不等式对一切实数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解：假设存在符合条件的．的图象过，，即．又对一切实数都成立，令，则．，，．．由得据题意，对于任意实数，与都成立．对于，若，则，不合题意；若，欲使的解集为，则需即解得．对于，再考虑，把代入，得，其解集为．所以，存在满足条件的，其中．
