7.3*复数的三角表示第二章复数学习目标重点：复数的三角表示及乘、除运算.难点：复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示与三角表示之间的关系.3.了解辐角、辐角的主值等概念.4.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.知识梳理一、复数的三角表示式1.复数的三角形式r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角表示式，简称三角形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ�所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角.为了与三角形式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式.复数三角形式的特点：非负、同角、加号、前余后正.2.辐角与辐角主值任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.例如，复数i的辐角是2+2kπ，其中k可以取任何整数.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值（principalvalueofanargument）.通常记作argz，即0≤argz<2π.3.复数代数形式和三角形式的转化a+bi＝rcosθ+irsinθ＝r（cosθ+isinθ），其中r＝22ab，cosθ＝ar,sinθ＝br.(1)复数的代数形式是唯一的，但三角形式不唯一.(2)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，但辐角主值只有一个；复数0的辐角是任意的，不讨论它的辐角主值.两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等4.复数相等二.复数乘、除运算的三角表示及其几何意义1.复数三角形式的乘法法则公式r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］，这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.2.复数乘法的几何意义两个复数z1，z2相乘时，可以像图7.3-1那样，先分别画出与z1，z2对应的向量1OZ�，2OZ�，然后把向量1OZ�绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把1OZ�绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ�，OZ�表示的复数就是积z1z2.这是复数乘法的几何意义.图7.3-13.复数三角形式的除法法则公式111222(cossin)(cossin)riri＝12rr［cos（θ1-θ2）+isin（θ1-θ2）］即，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.一.复数的代数形式与三角形式的互化常考题型<1>将复数的代数形式化为三角形式例1.将以下复数表示为三角形式（取辐角主值）：（1）3-i；（2）1+i；（3）5.【解】（1）因为r＝22(3)(1)＝2，cosθ＝32，sinθ＝-12，所以θ＝116π，于是3-i＝11112cossin66i.（2）因为r＝11＝2，cosθ＝22，复数1+i对应的点在第一象限，所以arg（1+i）＝4，所以1+i＝244cosisin.（3）因为r＝2250＝5，cosθ＝1，sinθ＝0，所以θ＝0，于是5＝5（cos0+isin0）.训练题1.复数-3-3i的三角形式为.1.答案：442333cosisin解析：因为r＝22(3)(3)＝23，cosθ＝-12，sinθ＝-32，所以θ＝43π，于是-3-3i＝442333cosisin.训练题2将复数z＝1+cos2x+isin2xx∈0,2化为三角形式，并求|z|及argz.2解：z＝1+cos2x+isin2x＝2cos2x+i·2sinxcosx＝2cosx（cosx+isinx）. x∈0,2，∴|z|＝2cosx，argz＝x.【名师点拨】将复数z＝a+bi（a，b∈R）化为三角形式z＝r（cosθ+isinθ）时，要注意：（1）r＝22ab.（2）cosθ＝ar，sinθ＝br，其中θ终边所在象限与点（a，b）所在象限相同.或tanθ＝ba（a≠0），θ终边所在象限与点（a，b）所在象限一致.当a＝0，b>0时，argz＝2.【特别提醒】（1）复数的三角形式z＝r（cosθ+isinθ）中，辐角θ可以取辐角主值，也可以取其他辐角.如1-i＝772cossin44i＝244cosisin.（2）复数的三角形式z＝r（cosθ+isinθ）中，模r≥0，θ为任意角，若θ为辐角主值，则θ∈［0，2π）.<2...
