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高中数学 23(等差数列的前n项和)课件(1) 新人教A版必修5 课件VIP免费

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高斯的故事高斯上小学时,有一次数学老师给同学们出了一道题:计算从1到100的自然数之和。那个老师认为,这些孩子算这道题目需要很长时间,所以他一写完题目,就坐到一边看书去了。谁知,他刚坐下,马上就有一个学生举手说:“老师,我做完了。”老师大吃一惊,原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边,只见他在笔记本上写着5050,老师看了,不由得暗自称赞。为了鼓励他,老师买了一本数学书送给他。思考:现在如果要你算,你能否用简便的方法来算出它的值呢?10099321.1计算:nn)1(321.2计算:50502)1001(100100993212)1()1(321nnnn100+99+98+…+2+1n+(n-1)+(n-2)+…+2+1问题1•如图,建筑工地上一堆圆木,从上到下每层的数目分别为1,2,3,……,10.问共有多少根圆木?请用简便的方法计算.问题2数列前n项和的意义数列{an}:a1,a2,a3,…,an,…我们把a1+a2+a3+…+an叫做数数列{列{aann}}的的前前nn项和项和,记作,记作SSnn这节课我们研究的问题是:(1)已知等差数列{an}的首项a1,项数n,第n项aann,,求求前前nn项和项和SSnn的计算公式;的计算公式;(2)(2)对此公式进行对此公式进行应用。应用。设等差数列{an}的前n项和为Sn,即Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an))()(121nnaanS此种求和法称为倒序相加法n个思考:若已知a1及公差d,结果会怎样呢?)()(2211dnnnaSn公式的推导2)1nnaanS(dnaan)1(1dnnnaSn2)11(dnaan)1(1dnnnaSnn2)1(设n)2da(n2dd2)1n(nnaS121n若a1、d是确定的,那么2daB,2dA1上式可写成Sn=An2+Bn若A≠0(即d≠0)时,Sn是关于n的二次式且缺常数项。等差数列的前n项和公式的其它形式分析公式的结构特征例:等差数列-10,-6,-,2,…的前多少项的和为54?解:设题中的等差数列是{an},前n项和为Sn.则a1=-10,d=-6-(-10)=4,Sn=54.由等差数列前n项和公式,得5442)1(10nnn解得n1=9,n2=-3(舍去).因此,等差数列的前9项和是54.举例1.an=?an=4n-14Sn=2n2-12n2.Sn呢?nSnO6nanOan=4n-14Sn=2n2-12nSn的深入认识课外探索1、已知等差数列16,14,12,10,…(1)前多少项的和为72?(2)前多少项的和为0?(3)前多少项的和最大?2、求集合的元素个数,并求这些元素的和.100,,7|mNnnmmM且解:1007n72147100n所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出,得,7,72,73,74,,714即7,14,21,28,…,98这个数列是成等差数列,记为na14,98,7141naa.7352)987(1414S2)1nnaanS(答:集合M共有14个元素,它们的和等于735.3、已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列,求证它们的比是3:4:5.证明:将成等差数列的三条边的长从小到大排列,它们可以表示为a-d,a,a+d(这里a-d>0,d>0)由勾股定理,得到222)()(daada解得da4从而这三边的长是3d,4d,5d,因此,这三条边的长的比是3:4:5也成等差数列,,,,、KKKKKKKSSSSSSS342324

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