第3讲等比数列及其前n项和1.理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系.【考纲下载】1．等比数列的有关概念(1)等比数列的定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于，这个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列的，记作q.(2)通项公式：等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则称an＝为数列{an}的通项公式．(3)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么叫做a与b的等比中项，且＝ab.2同一个常数a1qn－1G公比G2提示：等比数列的定义与等差数列的定义从字面上看相似，就是“比”与“差”的区别，但等比数列隐含着数列的各项不为零，公比不为零，项与公式的正负号有着密切的关系等等．【思考】推导等比数列的前n项和公式的方法是什么？你掌握了吗？不妨看一下课本．答案：错位相减法3．等比数列的重要性质(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq(m，n，p，q∈N*)．(2)an＝a1qn－1可推广为an＝amqn－m.(3)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.①当q>1，a1>0或01，a1<0或00时，数列{an}为递减数列；③当q＝1时，数列{an}是(非零)常数列；④当q<0时，数列{an}是摆动数列．提示：等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活运用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9解析： 等比数列中隔一项的符号相同，∴b＝－3＝∴ac＝b2＝9.答案：B解析：当公比q＝1时，an＝a3＝7，S3＝21满足条件；当公比q≠1时，有，解得q＝2．等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．C．1或D．答案：C3．(2009·广东卷)已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝2a，a2＝1，则a1＝()A.B.C.D．2解析： a3·a9＝又a2＝1＝a1·，∴a1＝答案：B4．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.解析：由已知：(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，得a＝5，则a1＝4，q＝∴an＝4·1.对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．2．在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公比q是否等于1的判断和讨论．【例1】已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝求{an}的通项公式．思维点拨：根据等比数列定义、通项公式及性质建立首项，公比的方程组．解：解法一：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝解得q1＝，q2＝3.当q＝时，a1＝18.∴an＝18×＝2×33－n.当q＝3时，a1＝∴an＝×3n－1＝2×3n－3.解法二：由a3＝2，得a2a4＝4，又a2＋a4＝则a2，a4为方程x2－x＋4＝0的两根，解得①当a2＝时，q＝3，an＝a3·qn－3＝2×3n－3；②当a2＝6时，q＝an＝2×33－n.∴an＝2×3n－3或an＝2×33－n.1.证明数列是等比数列的两个基本方法是：(1)＝q(与n值无关的常数)(n∈N*)．(2)A＝anan＋2(n∈N*)．2．定义不仅能证明一个数列是等比数列，也能判定一个数列不是等比数列，只须通过具有三个连续项不成等比数列证明，也可以用反证法．3．解题的过程，常表现在“猜”与“凑”．“猜”即猜测解题方向；“凑”，即凑此方向．对于证明题，因为结论已明确，所以需要的是“凑”的功夫．【例2】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；思维点拨：(1)构造新数列{an＋1－an}；(2)累加，求和得an.证明：(1) an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴＝2(n∈N*)．又 a1＝1，a2＝3，∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)解：由(1)得an＋1－an＝2n(n∈N*)，∴an－an－1＝2n－1an－1－an－2＝2n－2⋮a3－a2＝22a2－a1＝21以上式子相加得：an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，∴an＝2n－1.变式2：(1)已知数列{cn...
