2．5圆锥曲线的统一定义学习目标1.了解圆锥曲线的统一定义．2．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题．课堂互动讲练知能优化训练2．5课前自主学案课前自主学案温故夯基1．平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做____．2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2且不等于零)的点的轨迹叫做______．3．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做______．椭圆双曲线抛物线1．圆锥曲线的统一定义若平面内动点P到定点F的距离和它到一条定直线l(F不在定直线l上)的距离的比是一个常数e(e>0)，则动点P的轨迹是圆锥曲线．(1)如果01，则动点P的轨迹是______；(3)如果e＝1，则动点P的轨迹是______．知新益能椭圆双曲线抛物线2．圆锥曲线的焦点、准线与曲线的相对位置，曲线中与坐标系无关的不变量(1)准线与曲线没有公共点．(2)椭圆中长轴长2a，短轴长2b，离心率e＝ca，中心到焦点的距离c，中心到准线的距离a2c等都是与坐标系无关的不变量．(3)双曲线中实轴长2a，虚轴长2b，离心率e＝ca，中心到焦点的距离c，中心到准线的距离a2c等都是与坐标系无关的不变量．(4)抛物线中焦点到顶点的距离p2，焦点到准线的距离p都是与坐标系无关的不变量．课堂互动讲练考点突破利用统一定义求轨迹(或轨迹方程)根据圆锥曲线的统一定义判断动点的轨迹，首先要将已知条件转化为动点到定点的距离与到定直线距离的比值，然后判断比值与1的大小关系．若比值大于1，则轨迹为双曲线；若比值大于0且小于1，则轨迹为椭圆；若比值为1，则轨迹为抛物线．【思路点拨】由点M到点F与到准线l的距离的比来确定曲线类型．已知一条圆锥曲线的一个焦点是F(1,0)，对应准线l：x＝－1，且曲线过点M(3,23)，求圆锥曲线的方程．例1【解】 |MF|＝3－12＋23－02＝4，点M到准线l的距离为d＝|3－(－1)|＝4，∴|MF|＝d，且点F不在l上，即圆锥曲线是抛物线，其顶点在原点，焦点为F(1,0)．由p2＝1得p＝2.故此圆锥曲线的方程是y2＝4x.【名师点评】如果只知道某条曲线是圆锥曲线，不知道其具体的曲线类型，且已知其焦点和相应准线，那么在求其方程时，可设出离心率e，根据|MF|d＝e设出方程，然后利用其他条件求e，从而得出圆锥曲线的方程．自我挑战1一动点到定直线x＝3的距离是它到定点F(4,0)的距离的12，求这个动点的轨迹方程．解：设动点的坐标为(x，y)．由题意得e＝ca＝2.由圆锥曲线的统一定义得x－42＋y2|x－3|＝2，整理得3x－832－y2＝43，所以所求轨迹方程为x－83249－y243＝1.与圆锥曲线有关的最值问题形如MA＋1eMF的最小值的求法是利用圆锥曲线的统一定义将MA＋1eMF转化为MA＋d.例如MA＋1eMF(A是椭圆内部一定点，F是椭圆的一个焦点)的最值是利用椭圆的第二定义进行转化．如图，已知点A(1,2)在椭圆x216＋y212＝1内，F的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P，使|PA|＋2|PF|最小.例2【思路点拨】直接求解比较困难，不防将|PF|转化为点P到准线的距离．【解】 a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，即c＝2.∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为e＝12.设P到右准线的距离为d，则|PF|＝12d，d＝2|PF|.∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|PA|＋d即|PA|＋2|PF|最小．把y＝2代入x216＋y212＝1，得x＝463(负值舍去)，即P463，2为所求．【名师点评】本类题是圆锥曲线中求最值的一类典型问题，解题的方法也是相通的，都是利用定义实现转化．圆锥曲线上的点与焦点连线时，焦半径对应的问题常应用统一定义来解决．圆锥曲线的焦点弦问题是常见的一类弦长问题，可以用一般弦长公式求解，但更好的方法是利用焦点弦特有的公式进行计算，焦点弦公式为AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)，其中AA1，BB1为弦的两端点到准线的距离．圆锥曲线的焦半径、焦点弦问题【思路点拨】设点P(x，y)，由焦半径公式求出x.(本题满分14分)已知椭圆x225＋y216＝1，P为椭圆上任意一点，F1，F2为左、右两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝2∶1，求点P的坐标．例3【规范解答】设点P的坐标...
