1．椭圆：平面内与两个定点F1，F2的________________________________的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的__________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程焦点a、b、c的关系距离的和等于常数(大于|F1F2|)焦点焦距x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)(－c,0)(c,0)(0，－c)(0，c)c2＝a2－b2c2＝a2－b2引言在生活中，我们对椭圆并不陌生．油罐汽车的贮油罐横截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭圆形的．在学习中，椭圆其实比圆更加让我们熟知，无论是数学中的0，还是字母中的O，我们都能看到椭圆的踪影．那么椭圆是怎样定义的呢？探究点一椭圆的定义问题1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？答案固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键．结论：平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c.若设M为椭圆上的任意一点，则|MF1|＋|MF2|＝2a.问题2命题甲：动点P到两定点A、B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0且a为常数)；命题乙：点P的轨迹是椭圆，且A、B是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，且a为常数)，所以命题甲是命题乙的必要条件．若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，且a为常数)，不能推出P点的轨迹是椭圆．这是因为：仅当2a>|AB|时，P点的轨迹是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹．所以命题甲不是命题乙的充分条件．综上可知，命题甲是命题乙的必要不充分条件．答案B探究点二椭圆的标准方程问题1观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程．答案(1)如图所示，以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点：设点M(x，y)是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为F1(－c,0)、F2(c,0)．(3)列式：依据椭圆的定义式|MF1|＋|MF2|＝2a列方程，并将其坐标化为x＋c2＋y2＋x－c2＋y2＝2a.①(4)化简：通过移项、两次平方后得到：(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，为使方程简单、对称、和谐，引入字母b，令b2＝a2－c2，可得椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．②(5)从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解(x，y)为坐标的点到椭圆的两个焦点F1(－c，0)，F2(c,0)的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上．由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫做椭圆的标准方程．问题2建系时如果焦点在y轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？答案焦点在y轴上，椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．在椭圆的两种标准方程中，总有a>b>0.椭圆的两种标准方程中，如果x2项的分母大，焦点就在x轴上，如果y2项的分母大，则焦点就在y轴上．问题3椭圆方程中的a、b以及参数c有什么意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.例1(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点52，－32，求它的标准方程；(2)若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程．解(1)方法一因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．由椭圆的定义知2a＝52＋22＋－322＋52－22＋－322＝210，所以a＝10.又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x210＋y26＝1.方法二设标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．依题意得254a2＋94b2＝1a2－b2＝4，解得a2＝10b2＝6.∴所求椭圆的标准方程为x210＋y26＝1.(2)方法一当椭圆的焦点在x轴上时，...
