7.3三角函数的性质与图像7.3.1正弦函数的性质的图像第七章三角函数学习目标1.借助单位圆理解正弦函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等）.2.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.3.掌握y＝sinx的单调性，并能利用单调性比较大小.4.了解正弦曲线的画法，能正确使用“描点法”“五点法”作出正弦函数的图像.重点：正弦函数的性质（单调性、值域），五点法作函数图像..难点：对周期函数概念的理解，正弦函数性质的综合应用.知识梳理一、正弦函数的性质——定义域与值域因为任意角都有正弦，所以y＝sinx的定义域为R；又正弦线的最大长度为1，最小长度为0，可知，y＝sinx的值域为［-1，1］，而且当且仅当x＝2+2kπ（k∈Z）时，函数y＝sinx的最大值ymax＝1；当且仅当x＝32+2kπ（k∈Z）时，函数y＝sinx的最小值ymin＝-1.二、正弦函数的性质——奇偶性由诱导公式sin（-x）＝-sinx可知，正弦函数y＝sinx是奇函数，其图像关于原点中心对称.三、周期函数1.周期函数的定义一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x，都满足f（x+T）＝f（x），那么就称函数f（x）为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期.2.最小正周期对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f（x）的最小正周期.3.正弦函数的性质——周期性由诱导公式sin（x+k·2π）＝sinx（k∈Z），又在2kπ（k∈Z，k≠0）中，最小的正数为2π，因此正弦函数y＝sinx的最小正周期为2π.四、正弦函数的性质——单调性由正弦线我们可以看出y＝sinx在一个长度为2π的区间内的单调性：在区间-2，2上，从-1增大到1，是递增的；在区间2，32上，从1减小到-1，是递减的.又y＝sinx是以2π为周期的周期函数，可知，正弦函数y＝sinx在区间-2+2kπ，2+2kπ（k∈Z）上单调递增；在2+2kπ，32+2kπ（k∈Z）上单调递减.五、正弦函数的性质——零点正弦函数y＝sinx的零点为kπ（k∈Z）.六、正弦函数的图像（1）一般地，y＝sinx的函数图像称为正弦曲线.（2）正弦函数y＝sinx在［-π，π］上的图像如下图所示：（3）由于正弦函数y＝sinx的周期为2π，因此正弦函数在［-π+2kπ，π+2kπ］（k∈Z）上的函数图像与其在［-π，π］上的函数图像形状完全相同，因此不难得到正弦函数y＝sinx的图像如下图所示：七、“五点法”作正弦函数的图像函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图像上起关键作用的点有以下五个：（0，0），,12，（π，0），3,12，（2π，0）.这五个点描好后函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图像形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，我们可以先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线顺次将它们连接起来，就得到函数的简图，这种作图方法叫做五点法.八、正弦函数y＝sinx的对称性对称中心：点（kπ，0）（k∈Z）对称轴：直线x＝kπ+2（k∈Z）常考题型【解】（1）由-1≤sinx≤1知，当x＝2kπ+2（k∈Z）时，函数y＝2sinx-1取得最大值，ymax＝1；当x＝2kπ+32（k∈Z）时，函数y＝2sinx-1取得最小值，ymin＝-3.一正弦函数的性质——定义域、值域1.利用正弦函数值域，求复合函数的最值例1求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值.（1）y＝2sinx-1；（2）y＝-sin2x+2sinx+34.常考题型【解】（2）y＝-sin2x+2sinx+34＝-222sinx+54.因为-1≤sinx≤1，所以当sinx＝22，即x＝2kπ+4或x＝2kπ+34（k∈Z）时，函数取得最大值，ymax＝54；当sinx＝-1，即x＝2kπ+32（k∈Z）时，函数取得最小值，ymin＝-14-2.一正弦函数的性质——定义域、值域1.利用正弦函数值域，求复合函数的最值例1求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值.（1）y＝2sinx-1；（2）y＝-sin2x+2sinx+34.设a>0，对于函数f（x）＝sinxasinx（0
