高中数学 直接证明与间接证明课件五 新人教A版选修1-2 课件VIP免费

2.12.1数学归纳法数学归纳法及其及其应用举例应用举例（（55））例题选讲分析：画出n=2，3，4，5时的图形示意图，观察交点的变化规律。例6平面内有n(n>1)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.n图形图形n交点个数交点个数2345f(2)=1f(3)=3=1+2=f(2)+2f(4)=6=3+3=f(3)+3f(5)=10=6+4=f(4)+4从k条到k+1条交点增加了k点，应证f(k+1)=f(k)+k几何问题几何问题例题选讲几何问题几何问题例6平面内有n(n>1)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证明:(1)当n=2时两条直线的交点只有一个，又f(2)=2(2-1)/2=1,因此当n=2时，命题成立。（2）假设n=k(k>1)时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)=k(k-1)/2.现在来考虑平面内有k+1条直线的情况，任取其中的一条直线，记为L,由题设，L和其它k条直线必有k个不同交点，又根据假设，其它k条直线的交点的个数f(k)等于k(k-1)/2,根据题设，这k(k-1)/2个和这k个点是不同的交点，从而平面内满足题设的k+1条直线的交点的个数是K(k-1)/2+k=k[(k-1)+2]/2=(k+1)[(k+1)-1]/2.这就是说，当n=k+1时，k+1条直线的交点的个数F(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.根据（1）（2），可知命题对任何大于1的正整数都成立。变形１、平面内有n（n≥2)条直线，任何两条都不平行，任何三条都不过同一点，线段的条为，射线的条数为，求、的表达式nbncnbncnfccbnnfn4,2变形2、平面内有n（n≥2)条直线，任何两条都不平行，任何三条都不过同一点，这n条直线将平面分成的平面区域的块数为个g(n),g(n)=?22)(2nnng变形３平面内有n个圆，任何两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)个部分．求f(n)？2)(2nnnf变形３平面内有n个圆，任何两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成个部分．2)(2nnnf.2)(21.2)(12)1()1(222)()1(2222部分个圆把平面分成了可知根据也成立时即当nnnfn，、nnnf，knkkkkkkkfkf部分2)(2kkkf证明：（１）当n=1时，一个圆把平面分成二部分，且因此，n=1时命题成立．（２）假设n=k时，命题成立，即k个圆把平面分成,如果增加一个满足的任一个圆，则这个圆必与前k个圆交于2k个点。这2k个点把这个圆分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分。因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上以增加了2k部分，即有2211)1(f