高中数学 2.3 等差数列的前n项和 第2课时课件 新人教A版必修5 课件VIP免费

第2课时等差数列前n项和的性1．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，那么数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…，(k∈N＋)是等差数列，其公差等于.2．若在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在；若在等差数列{an}中，a1<0，d>0，则Sn存在．k2d最大值最小值3．若等差数列的项数为2n(n∈N＋)项，则S2n＝，且S偶－S奇＝，S奇S偶＝.4．若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)项，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇S偶＝nn－1.(其中S奇＝，S偶＝n(an＋an＋1)ndnan(n－1)an)1．在等差数列{an}中，S10＝120，a2＋a9的值为()A．12B．24C．36D．48答案：B解析：S10＝120＝10a1＋a102，∴a1＋a10＝24，又a2＋a9＝a1＋a10＝24.2．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()A．2B．3C．4D．5解析： S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15，S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，S偶－S奇＝5d＝15，∴d＝3.答案：B3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于()A．12B．18C．24D．42解析： 等差数列{an}的前n项和为Sn，∴有S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．整理得S6＝3S4－3S2＝3×10－3×2＝24.答案：C4．等差数列{an}中，公差d＝，前100项和S100＝45，则a1＋a3＋a5…＋＋a99＝________.解析：数列a1，a3，a5，…，a99是以a1为首项，2d为公差的等差数列，且共有50项，∴a99＝a1＋(50－1)×2d＝a1＋98d.设其和为S，则S＝50a1＋a992＝50(a1＋49d)．又S100＝100a1＋a1002＝1002a1＋99d2＝45，∴2a1＋98d＝910－d＝25.∴S＝50×2a1＋98d2＝50×15＝10.另解： S偶＋S奇＝45，S偶－S奇＝50d＝25，∴S奇＝10.答案：105．数列{an}是等差数列，a1＝50，d＝－0.6.(1)从第几项开始有an<0；(2)求此数列的前n项和的最大值．解：(1) a1＝50，d＝－0.6，∴an＝50－0.6×(n－1)＝－0.6n＋50.6.令－0.6n＋50.6≤0，则n≥50.60.6≈84.3.由于n∈N*，故当n≥85时，an<0，即从第85项起以后各项均小于0.(2)解法1： d＝－0.6<0，a1＝50>0，由(1)知a84>0，a85<0，∴S1S85>S86>….∴(Sn)max＝S84＝50×84＋84×832×(－0.6)＝2108.4.解法2： Sn＝50n＋nn－12×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n＝－0.3(n－5036)2＋5032120.∴当n取接近于5036的自然数，即n＝84时，Sn取到最大值．∴S84＝2108.4.[例1]若Sn表示等差数列的前n项和，S4S8＝13，则S8S16＝________.[分析]可以设出首项a1与公差d，代入条件S4S8，进一步求S8S16的值．但是，我们注意到序号为4、8、16，可以考虑用性质来解．[解] S4S8＝13，故设S4＝x，则S8＝3x.由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S4＝x，S8－S4＝3x－x＝2x，∴新数列公差为x.∴S12－S8＝3x，S16－S12＝4x，∴S12＝3x＋S8＝3x＋3x＝6x，而S16＝S12＋4x＝6x＋4x＝10x.∴S8S16＝3x10x＝310.[点评]巧用性质解题，使计算化繁为简．迁移变式1(1)等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝30，a5＋a6＋a7＋a8＝80，则a9＋a10＋a11＋a12＝________.(2)一个等差数列前n项和为25，前2n项和为100，求其前3n项的和．解析：由题意知S4＝30，S8－S4＝80， S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，∴30、80、S12－S8成等差数列．∴S12－S8＝130.而S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12，∴a9＋a10＋a11＋a12＝130.(2)Sn＝25，S2n＝100.设S3n＝x由于Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列∴25,100－25，x－100成等差∴(x－100)＋25＝2(100－25)∴x－100＋25＝150∴x＝225∴S3n＝225答案：(1)130(2)225[例2]若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和An和Bn满足关系式AnBn＝7n＋14n＋27(n∈N*)，求anbn.[分析]条件是前n项和的比值，而结论是通项的比值．所以，需要将通项的比值转化为前n项和的比值．[解]由等差数列性质：an＝a1＋a2n－12，bn＝b1＋b2n－12，∴anbn＝a1＋a2n－12b1＋b2n－12＝2n－1a1＋a2n－122n－1b1＋b2n－12＝A2n－1B2n－1＝72n－1＋142n－1＋27＝14n－68n＋23.[点评]恰当的应用等差中项可以简化解题过程．迁移变式2(2009·全国卷Ⅱ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则S9S5＝________.解析：S9S5...