第十六章复数（选修2-2）2011高考导航考纲解读1.复数的概念(1)理解复数的基本概念．(2)理解复数相等的充要条件．(3)了解复数的代数表示法及其几何意义．2011高考导航考纲解读2．复数的四则运算(1)会进行复数代数形式的四则运算．(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.2011高考导航命题探究从历年高考试题看，复数部分的考查重点是复数的有关概念和复数的代数形式运算及运算的几何意义．1．复数的概念的考查，高考命题仍以考查基本概念为主，题型以选择题、填空题为主，难度不大．2011高考导航命题探究2．对复数运算的考查，高考命题主要以考查复数的加、减、乘、除运算为主，题目多为选择题，难度与课本习题相当．1．复数的概念形如a＋bi(a、bR)∈的数叫做复数，其中i叫做，满足i2＝，a叫做，b叫做．(1)纯虚数：对于复数z＝a＋bi，当时，叫做纯虚数．(2)两个复数相等：a＋bi，c＋di(a、b、c、dR)∈相等的充要条件是.基础知识梳理虚数单位复数的实部复数的虚部－1a＝0且b≠0a＝c且b＝d(3)复平面：建立直角坐标系来表示的平面叫做复平面，横轴为，竖轴除去原点为．基础知识梳理复数实轴虚轴(4)复数的模：复数z＝a＋bi可以用复平面内的点Z(a、b)表示，向量OZ→的模叫做复数z＝a＋bi的模，表示为：|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(5)共轭复数：两个复数的实部，虚部时，这两个复数叫做共轭复数．基础知识梳理相等互为相反数2．复数的四则运算(1)加减运算：(a＋bi)±(c＋di)＝.(2)乘法运算：(a＋bi)·(c＋di)＝.基础知识梳理(a±c)＋(b±d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i(3)除法运算：(a＋bi)÷(c＋di)＝(c＋di≠0)．(4)i的幂运算：i4n＝，i4n＋1＝i，i4n＋2＝，i4n＋3＝.(nZ)∈基础知识梳理ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i1－1－i基础知识梳理任意两复数能比较大小吗？【思考·提示】不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小．1．下列命题正确的是()①(－i)2＝－1；②i3＝－i；③若a>b，则a＋i>b＋i；④若z∈C，则z2>0.A．①②B．①③C．②③D．①②④答案：A三基能力强化2．已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＝|z2|，则实数a等于()A．1B．－1C．1或－1D．±1或0答案：C三基能力强化三基能力强化3．(2009年高考陕西卷改编)已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()A．2iB．iC．－iD．－2i答案：A三基能力强化答案：1－3i4．已知z1＋i＝2＋i，则复数z＝________.答案：30三基能力强化5．定义运算：abcd＝ad－bc，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足z111＝2，则x＝________，y＝________.复数z＝a＋bi，若zR∈，则b＝0；若z是虚数，则b≠0；若z为纯虚数，则a＝0且b≠0.在解题过程中，可分别令实部、虚部为0，求出字母系数，然后再据相关条件确定所要的结果．课堂互动讲练考点一集合的基本概念课堂互动讲练例例11已知m∈R，复数z＝m2＋2mm－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R，(2)z是虚数．【思路点拨】根据复数的定义及z为实数、虚数、纯虚数的条件可求得结果．课堂互动讲练令m2＋2m－3＝0得，m＝－3，或m＝1.②(1)若zR∈，由②及m－1≠0知，m＝－3.(2)若z是虚数，则由②知，m≠－3，且m≠1.课堂互动讲练【解】令m2＋2mm－1＝0得，m＝－2，或m＝0.①【名师点评】对z为实数、虚数、纯虚数的条件考虑不完备而失误．课堂互动讲练本例条件不变，若z是纯虚数，求m的值．解：由①②知，m＝－2或m＝0.课堂互动讲练互动探究互动探究2．利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化．解题时要把等号两边的复数化为标准的代数形式．课堂互动讲练考点二复数相等1．a＋bi＝c＋di⇔a＝cb＝d(a，b，c，d∈R)课堂互动讲练例例22设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)zz＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．【思路点拨】课堂互动讲练课堂互动讲练【解】设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＝x－yi.由(1)知x<0，y>0.又zz＋2iz＝8＋ai(a∈R)，故(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，课堂互动讲练∴x2＋y2－2y＝8，2x＝a，即4(y－1)2＝36－a2， y>0，∴4(y－1)2≥0，∴36－a2≥0，即a2≤36，－6≤a≤6，...
