第一节数列的概念考纲点击1.理解数列的概念.2.了解数列通项公式的意义.3.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.热点提示1.以考查通项公式为主，同时考查an与Sn的关系.2.以递推关系为载体，考查数列通项公式的求法.3.以数列的前几项为背景，考查“归纳—猜想—证明”的思想.1．数列的定义按照___________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．一定顺序分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数______无穷数列项数______2．数列的分类有限无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1________其中n∈N递减数列an＋1_______常数列an＋1＝an＞an＜an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列an的符号正负相间，如1，－1,1，－1…3.数列的表示法：数列有三种表示法，它们分别是_______、_________和_________．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与_________之间的关系可以用一个公式___________来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．列表法图象法解析法序号nan＝f(n)1．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？【提示】不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝－1(n为奇数)1(n为偶数)，有的数列没有通项公式．2．数列是否可以看作一个函数，若是，则其定义域是什么？【提示】可以看作一个函数，其定义域是正整数集N(或它的有限子集{1,2,3，…，n}，可表示为an＝f(n)．5．递推公式如果已知数列{an}的____项(或______项)，且任一项an与它的______________(或______项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．第1前几前一项an－1前几1．数列1，85，157，249，…的一个通项公式an是()A.n22n＋1B.n(n＋2)n＋1C.(n＋1)2－12(n＋1)D.n(n＋2)2n＋1【解析】 1可以写成33，∴分母为3,5,7,9，即2n＋1，分子可以看为1×3,2×4,3×5,4×6，故为n(n＋2)，即an＝n(n＋2)2n＋1.此题也可用排除法求解，只需验证当n＝1时A选项为13，B选项为32，C选项为34，均不为1，故排除A、B、C从而选D.【答案】D2．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2，n∈N，则a100＝()A．3198B．3199C．3200D．3201【解析】依题意当n≥2时，an＝TnTn－1＝3n23(n－1)2＝32n－1，∴a100＝3199.【答案】B3．已知数列{an}的通项公式是an＝2n3n＋1，那么这个数列是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列【解析】方法一： an＋1－an＝2(n＋1)3(n＋1)＋1－2n3n＋1＝2[3(n＋1)＋1](3n＋1)＞0，∴an＋1＞an，数列{an}为递增数列．方法二：研究函数f(x)＝2x3x＋1(x＞0)的单调性，f(x)＝2x＋23－233x＋1＝23(3x＋1)－233x＋1＝23－23(3x＋1)，∴f(x)＝2x3x＋1在(0，＋∞)上单调递增，∴f(n＋1)＞f(n)，故an＋1＞an，数列{an}为递增数列．【答案】A4．已知数列前n项和Sn＝2n2－3n＋1，n∈N*，则它的通项公式为________．【解析】当n＝1时，a1＝S1＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n＋1－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5.a1不适合an，则其通项公式为an＝0(n＝1)4n－5(n≥2).【答案】an＝0(n＝1)4n－5(n≥2)5．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋n，则a2009＝________.【解析】由a1＝0，an＋1＝an＋n得an＝an－1＋n－1，an－1＝an－2＋n－2，⋮a2＝a1＋1，a1＝0，累加可得an＝0＋1＋2＋…＋n－1＝n(n－1)2，∴a2009＝2009×20082＝2017036.【答案】2017036由数列的前几项求数列的通项公式写出下列各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…(2)12，34，78，1516，3132，…(3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…(4)3,33,333,3333，…【思路点拨】由所给数列前几项的特点，归纳出其通项公式，注意项与项数的关系，项与前后项之间的关系，通项公式的形式并不唯一．【自主解答】(1)各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2.(2)每一项分子比分母少1，而分母可写为21,22,23,24,25，…，故所求数列的一个通项公式可写为an＝2n－12n.(3)带有正负号，故每项中必须含有(－1)n＋1这个因式，而后去掉负号，观察可得．将第二项－1写成－55.分母可化为3,5,7,9,11...
