3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标1.了解引入虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.2.了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件.知能优化训练课前自主学案3.1.1数系的扩充和复数的概念课堂互动讲练课前自主学案1.方程x2-4x-1=0的解为x=_____.2.方程x2+x+1=0在实数集内解集为__,因为方程的_____.温故夯基∅Δ<02±51.复数的有关概念(1)复数①定义:形如a+bi的数叫做复数,其中a、b是____,i叫做________,a叫做复数的____,b叫做复数的____.②表示方法:复数通常用z表示,即z=_____________.知新益能虚数单位实部虚部实数a+bi(a、b∈R)(2)复数集①定义:由________所构成的集合叫做复数集.②表示:通常用大写字母__表示.2.复数的分类及包含关系复数(a+bi,a、b∈R)____b=0____b≠0纯虚数____非纯虚数____实数虚数a=0a≠0全体复数C3.复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数,则a+bi=c+di⇔___________;a+bi=0⇔________.a=c,b=da=b=01.复数m+ni的实部是m,虚部是n吗?提示:不一定,只有当m、n∈R时,m才是实部,n才是虚部.2.复数就是虚数吗?提示:复数与虚数不是同一个概念,现在所见的所有数都是复数,它包括实数和虚数两大部分.问题探究3.两个复数能否比较大小?提示:对于复数z=a+bi(a、b∈R),当b=0时能比较大小,当b≠0时,不能比较大小.即两个不全是实数的复数不能比较大小.课堂互动讲练考点突破复数的概念和性质规定i与实数可以进行四则运算,在进行运算时,原有的加、乘运算律仍然成立,即与原数集不矛盾.判断下列说法是否正确.(1)当z∈C时,z2≥0.(2)若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.(3)若a>b,则a+i>b+i.(4)若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1.【思路点拨】根据复数的概念可以判定.例1【解】(1)错误.当且仅当z∈R时,z2≥0成立.若z=i,则z2=-1<0.(2)错误.当a=-1时,(a+1)i=(-1+1)i=0·i=0∈R.(3)错误.两个虚数不能比较大小.(4)错误.当且仅当x,y∈R时,x,y才是x+yi的实部和虚部.此时x+yi=1+i的充要条件才是x=y=1.【思维总结】数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如:两数大小的比较,某数的平方是非负数等.变式训练1下列命题:①若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则x=±1;②若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应;③纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.其中真命题的个数是________.解析:对复数z=a+bi(a、b∈R)实数(b=0)虚数(b≠0)纯虚数(a=0),非纯虚数(a≠0),故由此分析可知各命题的真假.在①中,若x=-1,则不成立;②若a=0,则ai不是纯虚数.③由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知:所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集.答案:0复数z=a+bi(a、b∈R),根据a,b的取值可分为实数、虚数及纯虚数.复数的分类当实数m为何值时,复数z=m2+m-6m+(m2-2m)i为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.例2【思路点拨】据复数的分类标准→列出式子→解出m→结论【解】(1)当m2-2m=0m≠0,即m=2时,复数z是实数;(2)当m2-2m≠0,即m≠0且m≠2时,复数z是虚数;【思维总结】利用复数的代数形式进行分类时,主要依据是实部、虚部应满足的条件,求参数时,可据此列出方程组求解.(3)当m2+m-6m=0m2-2m≠0,即m=-3时,复数z是纯虚数.互动探究2将本例改成:是否存在实数m,使z=(m2-2m)+m2+m-6mi是纯虚数?解:由z=(m2-2m)+m2+m-6mi是纯虚数,得m2-2m=0m2+m-6m≠0,解得:m∈∅.即不存在实数m,使z=(m2-2m)+m2+m-6mi是纯虚数.必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组.已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,求x与y.【思路点拨】两个复数相等时,应分清两复数的实部与虚部,然后让其实部与实部相等,虚部与虚部相等.复数相等及应用例3【解】由复数相等的充要条件得2x-1=-...