4.2.3直线与圆的方程的应用用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”【思考】利用坐标法解决直线与圆的问题时,建立坐标系需要遵循的原则是什么?提示:一般借助图形中的对称轴、对称中心分别为坐标轴、原点建系,如果图形没有对称性,则利用图形中的边为坐标轴,尽可能多的把图形中的点、线放到坐标轴上.【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)用坐标方法解决平面几何问题时平面直角坐标系可以随便建.()(2)圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|-|OM|.()(3)已知点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1=x2,y1≠y2,则PQ与x轴垂直.()【提示】(1)×.建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响,应在利于解题的原则下建立适当的直角坐标系.(2)√.数形结合可知,当P,O,M三点共线,且M在P,O之间时,距离最小.(3)√.若x1=x2,y1≠y2,则直线PQ的斜率不存在,直线PQ与x轴垂直.2.方程y=对应的曲线是()24x【解析】选A.由方程y=,得x2+y2=4(y≤0),它表示的图形是圆x2+y2=4在x轴以下的部分.24x3.如图,圆弧形拱桥的跨度AB=12米,拱高CD=4米,则拱桥的直径为________.【解析】设圆心为O,半径为r,则由勾股定理得OB2=OD2+BD2,即r2=(r-4)2+62,解得r=,所以拱桥的直径为13米.答案:13米132类型一直线与圆的实际应用问题【典例】为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图所示),它的附近有一条公路.从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A,接着向东再走7km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.【思维·引】建立坐标系,写出直线BC的方程,点O到直线BC的距离减去半径,即为DE的最短距离.【解析】以O为坐标原点,过OB,OC所在的直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系(图略),则圆O的方程为x2+y2=1.因为点B(8,0),C(0,8),所以直线BC的方程为=1,即x+y=8.当点D为与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点时,|DE|为最短距离,此时DE的长为-1=(4-1)km.xy88＋|008|2＋－2【类题·通】求解直线与圆的方程的实际问题的一般步骤(1)认真审题,明确题意.(2)建立直角坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,从而在实际问题中建立直线与曲线的方程.(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题.(4)把代数结果还原为实际问题的解.提醒:在实际问题中,有些量具有一定的条件,转化成代数问题时要注意范围.【习练·破】如图所示,l是东西走向的一条水管,在水管北侧有两个半径都是10m的圆形蓄水池A,B(A,B分别为蓄水池的圆心),经测量,点A,B到水管l的距离分别为55m和25m,AB=50m.以l所在直线为x轴,过点A且与l垂直的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系(O为坐标原点).(1)求圆B的方程.(2)计划在水管l上的点P处安装一接口,并从接口出发铺设两条水管,将l中的水引到A,B两个蓄水池中,问点P到点O的距离为多少时,铺设的两条水管总长度最小?并求出该最小长度.【解析】(1)过点B作BC⊥OA于点C,如图所示,则在Rt△ABC中,AB=50,AC=55-25=30,所以BC=40.又B到x轴的距离为25,所以B(40,25),所以圆B的方程为(x-40)2+(y-25)2=100.(2)设圆A关于x轴对称的圆为圆D,则圆D:x2+(y+55)2=100,D(0,-55).又B(40,25),所以kDB==2,所以直线BD的方程为2x-y-55=0.因为|AP|=|DP|,所以|AP|+|BP|=|DP|+|BP|,所以当点D,P,B三点共线时|DP|+|BP|最小,即|AP|+|BP|最小,最小值为|BD|=2555400－（－）－224080405.＋＝由解得即点P到点O的距离为m时,铺设的两条水管总长度最小,最小为(40-20)m.2xy550y0－－＝，＝，55x2y0＝，＝，5525【加练·固】如图,一座圆拱桥,当水面在m位置时,拱顶离水面2米,水面宽12米.当水面下降1米后水面宽多少米?【解析】以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶顶点的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知可得:A(6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将A的坐标代入圆的方程可得r=10,所以圆的方程是:x2+(y+10)2=100,则当水面下降1米后可设A′的坐标为(x0,-3)(x0>0)代入圆的方程可得x0=,所以当水面下降1米后,水面宽为2米.5151类型二坐标法的应用【典例】如图,在△ABC...
