高中数学第三章推理与证明分析法典例导航课件北师大版选修1-2 课件VIP免费

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设a≥3，求证：a－a－1＜a－2－a－3.[证明过程]要证a－a－10)使左边向整式型过渡)(法一)∵ab＋b＋ba＋a≥2ab·b＋2ba·a＝2a＋2b，当且仅当a＝b时取等号，∴ab＋ba≥a＋b.(法二)∵ab＋ba(a＋b)＝a＋b＋aab＋bba≥a＋b＋2aab·bba＝a＋b＋2ab＝(a＋b)2，当且仅当a＝b时取等号，∴ab＋ba≥a＋b.设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称．求证：f(x＋12)为偶函数．由题目可获取以下主要信息：①f(x)是二次函数；②f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称．解答本题可先分析fx＋12为偶函数的条件，再利用已知，推出满足的条件或寻找结论成立的条件．[证明过程]证法一：要证fx＋12为偶函数，只需证fx＋12的对称轴为x＝0，只需证－b2a－12＝0，只需证a＝－b.因为函数f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，即x＝－b2a－1与x＝－b2a关于y轴对称，所以－b2a－1＝－－b2a，所以a＝－b，所以fx＋12为偶函数．证法二：要证fx＋12是偶函数，只需证f－x＋12＝fx＋12.因为f(x＋1)与f(x)的图象关于y轴对称，而f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，所以f(－x)＝f(x＋1)，f－x＋12＝f－x－12＝fx－12＋1＝fx＋12，所以fx＋12是偶函数．3.已知函数f(x)＝lg1x－1，x∈0，12，若x1，x2∈0，12且x1≠x2.求证：12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋x22.证明：要证12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋x22，只需证：lg1x1－1＋lg1x2－1>2lg2x1＋x2－1只需证：1x1－11x2－1>2x1＋x2－12.∵1x1－11x2－1－2x1＋x2－12＝x1－x221－x1－x2x1x2x1＋x22.由于x1，x2∈0，12且x1≠x2，∴x1－x221－x1－x2x1x2x1＋x22>0，即1x1－11x2－1>2x1＋x2－12，∴12[f(x1)＋f(x2)]>fx1＋x22.

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