第7课时空间向量的应用1．异面直线所成的角(1)过空间任一点O分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′所成的的角，叫做异面直线a与b所成的角．基础知识梳理不大于90°(2)异面直线所成角的向量公式两异面直线a、b的方向向量分别为m和n.当m与n的夹角不大于90°时，异面直线a、b所成的角θ与m和n的夹角；当m与n的夹角大于90°时，直线a、b所成的角θ与m和n的夹角．所以直线a、b所成的角θ的余弦值为.基础知识梳理相等互补|n·m||n||m|2．直线和平面所成的角(1)平面的斜线与它在平面上的所成的角叫做这条斜线与平面所成的角．(2)直线与平面所成角的向量公式直线a的方向向量和平面α的法向量分别为m和n，若m与n的夹角不大于90°时，直线a与平面α所成的角等于；若m与n的夹角大于90°时，直线a与平面α所成的角等于，所以直线a的方向向量和平面α所成的角的正弦值为.基础知识梳理射影m与n的夹角的余角m与n的夹角的补角的余角|n·m||n||m|3．平面和平面所成的角(1)过二面角α－l－β棱上任一点O作垂直于棱l的平面角，与面α、β的交线分别为OA、OB，那么叫做二面角α－l－β的平面角．(2)平面与平面所成角的向量公式平面α与平面β的法向量分别为m和n，则二面角与m、n的夹角θ．基础知识梳理∠AOB相等或互补1．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．以上均不正确答案：C三基能力强化2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错答案：C三基能力强化3．(教材习题改编)在如图所示的正方体A1B1C1D1－ABCD中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()三基能力强化A．－1010B．－120C.120D.1010答案：D三基能力强化4．已知直线l的方向向量为v，平面α的法向量是μ，且v·μ＝0，则l与α的位置关系是__________．答案：l⊂α或l∥α5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中平面AB1D1与平面A1BD所成的角为θ(0°≤θ≤90°)，则cosθ＝__________.三基能力强化答案：13设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则课堂互动讲练考点一求异面直线所成的角l1与l2所成的角θa与b的夹角〈a，b〉范围0<θ≤0<〈a，b〉<π求法cosθ＝|cos〈a，b〉|＝cos〈a，b〉＝π2|a·b||a||b|a·b|a||b|课堂互动讲练例例11(2009年高考广东卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点，设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．课堂互动讲练课堂互动讲练【思路点拨】(1)证明FG1→⊥EE1→，FG1→⊥FE1→，(2)先求EA→，E1G1→所成的角，从而转化为直线E1G1与EA所成的角．课堂互动讲练【解】(1)证明：以D为原点，DD1→、DC→、DA→分别为z轴、y轴、x轴的正向，12|DD1→|为1个单位长度建立空间直角坐标系，由题设知点E、F、G1、E1的坐标分别为(1,2,1)，(0,1,2)，(0,0,1)，(0,2,1)，课堂互动讲练∴FE1→＝(0,1，－1)，FG1→＝(0，－1，－1)，EE1→＝(－1,0,0)，∴FG1→·EE1→＝0，FG1→·FE1→＝0⇒FG1→⊥EE1→，FG1→⊥FE1→，又 EE1∩FE1＝E1.∴FG1⊥平面FEE1.课堂互动讲练(2)由题意知点A的坐标为(2,0,0)，又由(1)解答可知EA→＝(1，－2，－1)，E1G1→＝(0，－2,0)，∴cos〈EA→，E1G1→〉＝EA→·E1G1→|EA→|·|E1G1→|＝63，课堂互动讲练【规律小结】用向量方法求两条异面直线所成的角，是通过两条直线的方向向量的夹角来求解，而两异面直线所成角θ的范围是(0，π2]，两向量的夹角α的范围是[0，π]，所以要注意二者的区别与联系，应有cosθ＝|cosα|.题目条件不变，求异面直线AE与CG所成角的余弦值．课堂互动讲练互动探究互动探究解： A(1,0,0)，E(1,2,1)，C(0,1,0)，G(2,0,1)，∴AE→＝(0,2,1)，CG→＝(2，－1,1)∴cos〈AE→，CG→〉＝AE→·CG→|AE→·CG→|＝－2＋15·6＝－3030.∴异面直线AE、CG所成角的余弦值为3030.课堂互动讲练考点二求直线与平面所成的角如图所示，设直线l的方向向量为e，平面...
