1.设定点F1(0，－3)、F2(0,3)，动点P满足条件|PF1|＋|PF2|＝a＋9a(a>0)，则点P的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段解析 |PF1|＋|PF2|＝a＋9a≥6＝|F1F2|，∴点P的轨迹是椭圆或线段.D2.已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为()A.－1B.1C.5D.－5解析椭圆方程可化为x2＋y25k＝1，且一个焦点坐标为(0,2)，∴5k－1＝4，解得k＝1.B3.“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析将方程mx2＋ny2＝1化为x21m＋y21n＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，必须满足1m>01n>01m<1n⇔m>n>0.C4.椭圆x212＋y23＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍.解析依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3,0)，F2(3,0)，设P点的坐标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知x1－32＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆方程x212＋y23＝1，得y1＝±32，即P点的坐标为3，±32，∴|PF2|＝|y1|＝32.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝43，∴|PF1|＝43－|PF2|＝43－32＝732，即|PF1|＝7|PF2|.7探究点一定义法求轨迹方程例1如图，P为圆B：(x＋2)2＋y2＝36上一动点，点A坐标为(2,0)，线段AP的垂直平分线交直线BP于点Q，求点Q的轨迹方程.解 直线AP的垂直平分线交直线BP于点Q，∴|AQ|＝|PQ|，∴|AQ|＋|BQ|＝|PQ|＋|BQ|＝6，∴点Q的轨迹为以A、B为焦点的椭圆，且2a＝6,2c＝4，∴点Q的轨迹方程为x29＋y25＝1.小结用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义产生椭圆的基本量a，b，c.跟踪训练1已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.解如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，∴|PB|＝r.又 圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|).∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.∴2a＝10,2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.∴点P的轨迹方程为x225＋y216＝1.探究点二相关点法求轨迹方程例2如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？解设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝x0，y＝y02.因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4.①把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4，即x24＋y2＝1.②所以点M的轨迹是一个椭圆.问题从例2你能发现椭圆与圆之间的关系吗？答案圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.小结当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标P(x，y)，已知曲线上动点坐标Q(x1，y1).(2)求关系式：用点P的坐标表示出点Q的坐标，即得关系式x1＝gx，y，y1＝hx，y，(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.跟踪训练2如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程，并判断此曲线的类型.解设M点的坐标为(x，y)，P点的坐标为(xP，yP)，由已知易得xP＝xyP＝54y， P在圆上，∴x2＋54y2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1，该曲线表示椭圆.探究点三直接法求轨迹方程例3如图，设点A，B的坐标分别为(－5,0)，(5,0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－49，求点M的轨迹方程.解设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－5,0)，所以，直线AM的斜率kAM＝yx＋5(x≠－5)；同理，直线BM的斜率kBM＝yx－5(x≠5).由已知有yx＋5×yx－5＝－49(x≠±5)，化简，得点M的轨迹方程为x225＋y21009＝1(x≠±5).问题若将例3中的－49改为a(a<0)，曲线形状如何？答案设点M(x，y)，则yx＋5·yx－5＝a(x≠±5).化简得，y2－25a＋x225＝1(x≠±5).(1)当a＝－1时...
