第二节直接证明与间接证明直接证明与间接证明分析规律总结用综合法证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综合法的适用范围是：(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式等．(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型．变式训练1【解析】分析法的应用分析用分析法转化要证明的不等式，寻求其成立的充分条件．规律总结(1)分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知．(2)用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：为了证明命题Q为真，这只需证明命题P1为真，从而有…这只需证明命题P2为真，从而有……这只需证明命题P为真．而已知P为真，故Q必为真．用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则极易出错．变式训练２设a，b均为正数，且a≠b.求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.【证明】要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．又∵a＋b＞0，∴只需证a2－ab＋b2＞ab成立，即只需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．而依题设知，a≠b，则(a－b)2＞0显然成立，由此命题得证．反证法数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求{an}的通项公式；(2)数列{an}中是否存在三项，它们按原顺序可以构成等差数列？若存在，求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．分析(1)按求通项的一般方法求解．(2)因为直接从条件推证比较困难，故按反证法的思想方法进行求解．解规律总结(1)适宜用反证法证明的数学命题主要有：①结论本身以否定形式出现的一类命题；②关于唯一性、存在性的命题；③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题；④结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；⑤要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．(2)用反证法证明问题时，要注意以下两点：①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证；否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．变式训练３若x，y都是正实数，且x＋y＞2，求证：＜2和＜2中至少有一个成立．yx1xy1两种证明方法在综合问题中的应用(12分)分析规律总结证明问题是高中数学中常见的问题，也是高考中常考的问题，难度稍大，在各章知识中均有体现，函数、数列、不等式、立体几何、解析几何中常有证明问题．解决这类问题，两种证明方法要灵活应用，不能单纯依靠某一类方法．本例就综合了二次函数及不等式的有关知识．变式训练４(2010·滨州模拟)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R.(1)求证：命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”为真；(2)判断(1)中命题的逆命题的真假，并证明你的结论.【解析】【证明】(1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)．同理，f(b)≥f(－a)．两式相加，得f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．1．分析法和综合法是高中数学和高等数学都常用的数学方法，因而是高考中考查学生推理能力的重要内容之一，分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”．常常是在分析的过程中，由综合条件、基本公式、常识等因素进行探索，把分析法与综合法结合起来，形成“分析综合法”．2．反证法主要适用于以下两种情形：(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出的线索不够清晰；(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形；(3)使用反证法证明问题时，准确地作出反设是正确运用反证法的前提．常见“反设词”如下：若m3＋n3＝2，m，n∈R＋.求证：m＋n≤2.错解错解分析上述证明没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其反证法的应用是错误的．正解详见Word文档“课时作业”
