一元二次不等式及其解法恒成立问题判别式△=b2-4acy=ax2+bx+c(a>0)的图象ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集△>0有两相异实根x1,x2(x1
x2}{x|x10的解集为R，则m的取值范围是________．解析由题意知，不等式x2＋mx＋1>0对应的函数的图像在x轴的上方，所以Δ＝m2－4×1×1<0，所以－20的解集是R的等价条件是；(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是；(3)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔；k≤f(x)恒成立⇔.a>0且Δ<0a<0且Δ<0k≤f(x)mink≥f(x)max则问题转化为m≤g(x)min解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，（1）变量分离法(分离参数)思考3关于x的不等式在区间[2,3]上恒成立,求实数m的取值范围.2290≤xxm2()29,[2,3],gxxxx记min()(3)9,gxg9.m≤【评注】对于一些含参数的不等式恒成立问题，如果能够将不等式中的变量和参数进行剥离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题．问题等价于f(x)max≤0,解：构造函数2()29,[2,3],fxxxmx2981()2(),[2,3],48fxxmxmax()(3)90,fxfm≤9.m≤23y..xo（2）转换求函数的最值例1已知关于x下列不等式：(a-2)x2+(a-2)x+1试求a的取值范围.≥0恒成立，解：令y=(a-2)x2+(a-2)x+1,①当a=2时，y=1符合题意；②当a>2时，则△≤0，有20，又m(x2－x＋1)－6<0，∴m<6x2－x＋1.∵函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，∴只需m<67即可．
