第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示抓基础明考向提能力教你一招我来演练[备考方向要明了]考什么1.了解函数、映射的概念．2.理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法．3.了解简单的分段函数，并能简单应用.怎么考1.函数的概念、表示方法、分段函数是近几年高考的热点．2.函数的概念、三要素、分段函数等问题是重点，也是难点．3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题的形式出现.一、函数与映射的概念函数映射两集合A、B设A、B是两个设A、B是两个对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的一个数x，在集合B中有的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的一个元素x，在集合B中有的元素y与之对应非空数集非空集合任意任意唯一确定唯一确定函数映射名称称为从集合A到集合B的一个函数称对应为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射f：A→Bf：A→B二、函数的有关概念1．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．x的取值范围A函数值的集合{f(x)|x∈A}2．函数的三要素：、和．定义域值域对应关系三、函数的表示方法表示函数的常用方法有：、和．解析法列表法图象法四、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的，其值域等于各段函数的值域的，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．对应关系并集并集答案：D1．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则，其中能构成从M到N的函数的是()A．y＝x2B．y＝x＋1C．y＝2xD．y＝log2|x|解析：用排除法，易验证选项A，B，C都存在M中的元素在N中没有元素和它对应，所以排除A，B，C，故选D.2．(教材习题改编)设f，g都是从A到A的映射(其中A＝{1,2,3})，其对应关系如下表：则f(g(3))等于()A．1B．2C．3D．不存在x123f312g321解析：f(g(3))＝f(1)＝3.答案：C答案：D3．(教材习题改编)设函数f(x)＝x，x≥0，－x，x＜0，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝()A．－3B．±3C．－1D．±1解析：若a≥0，则a＋1＝2，得a＝1；若a<0，则－a＋1＝2，得a＝－1.4．已知f1x＝x2＋5x，则f(x)＝________.解析：令t＝1x，∴x＝1t.∴f(t)＝1t2＋5t.∴f(x)＝5x＋1x2(x≠0)．答案：5x＋1x2(x≠0)5．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________.解析：由已知得1＋b＋c＝0，9＋3b＋c＝0，得b＝－4，c＝3.∴f(x)＝x2－4x＋3.∴f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.答案：81．函数与映射的区别与联系(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B的映射．(2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．2．定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数y＝sinx与y＝cosx，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数．因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同．[精析考题][例1](2011·浙江高考)设函数f(x)＝－x，x≤0，x2，x＞0.若f(a)＝4，则实数a＝()A．－4或－2B．－4或2C．－2或4D．－2或2[答案]B[自主解答]当a＞0时，有a2＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4，因此a＝－4或a＝2.[例2](2011·陕西高考)设f(x)＝lgx，x＞0，10x，x≤0，则f(f(－2))＝________.[自主解答]显然f(－2)＝10－2＝1100，f1100＝lg1100＝－2.[答案]－2[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2011·宁波一模)已知f：x→sinx是集合A(A⊆[0,2π])到集合B＝{0，12}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()A．4个B．5个C．6个D．7个答案：B解析： A⊆[0,2π]，由sinx＝0，得x＝0，π，2π；由sinx＝12，得x＝π6，5π6，所以A中最多有5个元素．2．(2012·温州模...
