高考数学第一轮总复习 第6讲 函数的性质(二)——周期性、对称性课件 文 (湖南专版) 课件VIP专享VIP免费

理解函数的周期性与对称性的概念，能综合运用函数的性质解题．()()(2)______()()______.1fxfaxfaxfxfaxfxfaxfbxfx如果函数满足＋=-或=-，则函数的图象关于直线①对称．一般的，若＋=-，则函数的对称轴方．函数的对程称性是②________()()(0)____2_.yfxxDTxDfxTyfxfxxfxafxfxaafx函数的周期性的定义：设函数＝，，若存在非零常数，使得对任意的都有③，则函数为周期函数，为＝的一个周期．若函数对定义域中任意满足＋＝－或＋＝－，则函数是周期函数，它的一．函数的周期性个周期是④2()2abxaxfxTfxa＋①＝；②＝；③【＋点＝指南；④要】1.函数f(x)＝2x2－5x＋1的对称轴方程为x＝54.【解析】二次函数对称轴方程为x＝－b2a＝－－52×2＝54.2.若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(－1)＝1，则f(2010)－f(2011)＝()A．－1B．1C．－2D．2【解析】由f(x)是R上周期为5的奇函数，则f(0)＝0且满足f(2010)＝f(0)＝0，f(2011)＝f(5×402＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.故f(2010)－f(2011)＝1.3.函数f(x)＝4x＋12x的图象()A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称【解析】因为f(x)＝4x＋12x＝2x＋2－x，所以f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，即f(x)为偶函数，故图象关于y轴对称，故选C.4.设f(x)满足f(x＋32)＝－f(x)，且f(x)是奇函数．若f(1)>1，f(2)＝a，则下列结论正确的是()A．a>2B．a<－2C．a>1D．a<－1【解析】由已知得f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期是3，且是奇函数，所以a＝f(2)＝f(3－1)＝f(－1)＝－f(1)<－1，选D.5.若函数f(x)在(4，＋∞)上是减函数，且对任意x∈R，有f(4＋x)＝f(4－x)，则()A．f(2)>f(3)B．f(2)>f(5)C．f(3)>f(5)D．f(3)>f(6)【解析】由已知，f(x)的对称轴方程是x＝4，所以f(3)＝f(5)>f(6)．一函数周期性及其应用【例1】已知函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝2，求f(99)的值；(3)若当x∈[0,2]时，f(x)＝x，试求x∈[4,8]时函数f(x)的解析式．【解析】(1)由题意f(x)≠0，则f(x＋2)＝13fx.用x＋2代替x得f(x＋4)＝13fx＋2＝f(x)，故y＝f(x)为周期函数，且周期为4.(2)若f(1)＝2，则f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝13f1＝132.(3)当x∈[4,6]时，x－4∈[0,2]，则f(x－4)＝x－4，又周期为4，所以f(x)＝f(x－4)＝x－4.当x∈[6,8]时，x－6∈[0,2]，则f(x－6)＝x－6，根据周期为4，则f(x－6)＝f(x－2)＝x－6.又根据已知f(x)·f(x＋2)＝13，得f(x＋2)＝13fx，所以f(x)＝13fx＋2＝13fx－2＝13x－6.所以解析式为f(x)＝x－44≤x≤613x－660)；同理，②f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝1fx，f(x＋a)＝－1fx，可推得周期T＝2a(a>0)；③若f(x)为奇函数，且关于直线x＝a对称，则其周期T＝4a(a>0)；若f(x)为偶函数，又关于直线x＝a对称，则其周期T＝2a(a>0)．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：①f(x)＝f(2－x)；②当0≤x≤1时，f(x)＝x2.(1)判断函数f(x)是否是周期函数；(2)求f(5.5)的值．素材1【解析】(1)由fx＝f2－xfx＝f－x⇒f(－x)＝f(2－x)⇒f(x)＝f(x＋2)⇒f(x)是周期为2的周期函数．(2)f(5.5)＝f(4＋1.5)＝f(1.5)＝f(0.5)＝0.25.二函数对称性及其应用【例2】(1)定义在R上的函数y＝f(x)是增函数，且函数y＝f(x－1)的图象关于(1,0)成中心对称，若f(2a－a2)＋f(3)≤0，则实数a的取值范围为____________．(2)(2011·广西南宁市二模)已知函数f(x)＝(12)x的图象与函数g(x)的图象关于直线y＝x对称，令h(x)＝g(1－|x|)．则关于函数h(x)有下列命题：①h(x)的图象关于原点对称；②h(x)为偶函数；③h(x)的最小值为0；④h(x)在(0,1)上为减函数．其中正确命题的序号为________．(注：将所有正确命题的序号都填上)【解析】(1)由f(x－1)的图象关于(1,0)中心对称，则f(x)的图象关于(0,0)成中心对称，则f(x)为奇函数．所以不等式f(－a2＋2a)＋f(3)≤0⇔f(－a2＋2a)≤f(－3)，则－a2＋2a≤－3，解之得a≥3或a≤－1.(2)依题意，g(x)＝log1...