•●基础知识•一、函数的值域的定义•在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做•，函数值的集合叫做函数的．函数值值域•二、基本初等函数的值域•1．y＝kx＋b(k≠0)的值域为.•2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是•当a>0时，值域为；•当a<0时，值域为.•3．y＝(k≠0且x≠0)的值域是．R{y|yR∈且y≠0}•4．y＝ax(a>0，且a≠1)的值域是．•5．y＝logax(a>0，且a≠1)的值域是.•6．y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的值域分别为•、、R.(0，＋∞)R[－1,1][－1,1]•三、确定函数的值域的原则•1．当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合．•2．当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指•3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定．•4．当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定．图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合．?•四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定的方法和模式．常用的方法有：•1．直接法——从自变量x的范围出发，推出y＝f(x)的取值范围，如y＝(x≥3)的值域为．•2．配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法，如y＝4x＋2x的值域为．[2，＋∞)(0，＋∞)•3——．反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域．形如y＝(a≠0)的函“数的值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用分”离常数法求解，如：y＝的值域为．(－1,1)•4——．判别式法把函数转化成关于x的二次方程F(x，y)＝0，通过方≥程有实根，判别式△0，从而求得原函数的值域．形如y＝(a1，a2不同时为零)的函数的值域常用此法求解．如y＝的值域为．[－2,1]•5——．换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．形如y＝ax＋b±(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用此法求解，如y＝x＋的值域为．[1，＋∞)•6——．不等式法利用基本不等式：a＋b≥2(a、bR∈＋)求函数“的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件一正、”二定、三相等，如y＝x＋的值域为．(－∞，－4][4∪，＋∞)•7——．单调性法确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性求出函数的值域．形如y＝的函数的值域均可使用此法求解，该函数的值域为[,∞＋)．52•8——．求导法当一个函数在定义域上可导时，可根据其导数求最值，如y＝x3－x，x[0,2]∈的值域为•．•9——．数形结合法当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域，如y＝的值域为．[0，＋∞)•●易错知识•一、值域求解失误•1．求y＝sin2x＋sinx＋1的值域结果为[，＋∞)对吗？•答案：[，3]•2．已知函数f(x)＝log2(x2＋ax－a)的值域为R，则实数a的取值范围__________．•答案：(－∞，－4][0∪，＋∞)•二、忽视定义域对值域的制约作用而失误•3．已知f(x)＝2＋log3x，其中x[1,9]∈，当x＝________时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有最大值，最大值为________．•答案：x＝313•解析：先求出函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域：•⇒•⇒1≤x≤3.•∴函数的定义域为[1,3]，•又y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋2log3x＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.• 1≤x≤3.0≤log∴3x≤1.•则x＝1时有最小值6，当x＝3时有最大值13.•三、区分求函数值域的方法•4．求函数y＝x＋与y＝x＋的值域，虽然形式上接近但采用方法却不同，前者采用的方法为________，值域为________；后者采用的方法为________，值域为________．•答案：换元法(－∞，]三角换元法[－1，]•解析：y＝x＋，令＝t，x＝1－t2•∴y＝－t2＋t＋1，t[0∈，＋∞)•∴y(∈－∞，]，•y＝x＋，令x＝sinθ，θ[∈－，]•∴y＝sinθ＋cosθ＝sin(θ＋)，•∴y[∈－1，]．•●回归教材•1．(教材P1016题改编)函数y＝(xR)∈的值域是()•A．(0,1]B．(0,1)•C．[0,1)D．[0,1)•解析：1＋x2≥1⇒(0,1]∈．•答案：A•2．函数y＝x2＋x＋1(x≥0)的最小值为()•A...
