2.3等差数列的前n项和(二)[学习目标]1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式;了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系,能根据Sn求an.如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式,如何求它的通项公式?如果一个数列的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数),那么这个数列一定是等差数列吗?[知识链接](n≥2).1.数列中an与Sn的关系对任意数列{an},Sn与an的关系可以表示为an=(n=1),Sn-Sn-1S1[预习导引]2.由数列的Sn判断数列的类型由于等差数列前n项和公式Sn=na1+令A=,B=a1-,则Sn=,所以Sn是关于n的常数项为0的函数,反过来,对任意数列{an},如果Sn是关于n的常数项为0的函数,那么这个数列也是数列.An2+Bnnn-12d=d2n2+a1-d2n.d2二次二次等差d2an≤0,an+1≥03.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中,当a1>0,d<0时,Sn有最大值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定;当a1<0,d>0时,Sn有值,使Sn取到最值的n可由不等式组确定.最小an≥0,an+1≤0(2)因为若d≠0,则从二次函数的角度看:当d>0时,Sn有值;当d<0时,Sn有值;且n取最接近对称轴的自然数时,Sn取到最值.最小Sn=d2n2+a1-d2n,最大例1已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?解根据Sn=a1+a2+…+an-1+an与Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1),可知,当n>1时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n-,①探究一利用Sn与an的关系求an12121212当n=1时,a1=S1=12+12×1=32,也满足①式.∴数列{an}的通项公式为an=2n-12.由此可知:数列{an}是以32为首项,公差为2的等差数列.规律方法已知前n项和Sn求通项an,先由n=1时,a1=S1求得a1,再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求an,最后验证a1是否符合an,若符合则统一用一个解析式表示.变式训练1已知数列{an}的前n项和Sn=3n,求an.∴an=3n=1,2·3n-1n≥2.解当n=1时,a1=S1=3;n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1.当n=1时,代入an=2·3n-1得a1=2≠3.例2已知等差数列…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.5,427,347,探究二等差数列前n项和的最值解由题意知,等差数列5,427,347,…的公差为-57,所以Sn=5n+nn-12-57=-514n-1522+112556.于是,当n取与最接近的整数即7或8时,Sn取最大值.152另解an=a1+(n-1)d=5+(n-1)an=解得n≥8,即a8=0,a9<0.所以和是从第9项开始减小,而第8项为0,所以前7项和或前8项和最大.×-57=-57n+407.-57n+407≤0,规律方法在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆取负(正)值,则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于Sn为关于n的二次函数,也可借助二次函数的图象或性质求解.变式训练2在等差数列{an}中,an=2n-14,试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.解法一 an=2n-14,∴a1=-12,d=2.∴a1
0;当n≥35时,an<0.(1)当n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-32n2+2052n;(2)当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+...