高中数学 第二章 数列 23 等差数列的前n项和(二)课件 新人教B版必修5 课件VIP专享VIP免费

2．3等差数列的前n项和(二)[学习目标]1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质.2.掌握等差数列前n项和的最值问题.3.理解an与Sn的关系，能根据Sn求an.如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，如何求它的通项公式？如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？[知识链接](n≥2).1.数列中an与Sn的关系对任意数列{an}，Sn与an的关系可以表示为an＝(n＝1)，Sn－Sn－1S1[预习导引]2.由数列的Sn判断数列的类型由于等差数列前n项和公式Sn＝na1＋令A＝，B＝a1－，则Sn＝，所以Sn是关于n的常数项为0的函数，反过来，对任意数列{an}，如果Sn是关于n的常数项为0的函数，那么这个数列也是数列.An2＋Bnnn－12d＝d2n2＋a1－d2n.d2二次二次等差d2an≤0，an＋1≥03.等差数列前n项和的最值(1)在等差数列{an}中，当a1＞0，d＜0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1＜0，d＞0时，Sn有值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定.最小an≥0，an＋1≤0(2)因为若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有值；当d＜0时，Sn有值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值.最小Sn＝d2n2＋a1－d2n，最大例1已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解根据Sn＝a1＋a2＋…＋an－1＋an与Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n＞1)，可知，当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n－，①探究一利用Sn与an的关系求an12121212当n＝1时，a1＝S1＝12＋12×1＝32，也满足①式.∴数列{an}的通项公式为an＝2n－12.由此可知：数列{an}是以32为首项，公差为2的等差数列.规律方法已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示.变式训练1已知数列{an}的前n项和Sn＝3n，求an.∴an＝3n＝1，2·3n－1n≥2.解当n＝1时，a1＝S1＝3；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2·3n－1.当n＝1时，代入an＝2·3n－1得a1＝2≠3.例2已知等差数列…的前n项和为Sn，求使得Sn最大的序号n的值.5,427，347，探究二等差数列前n项和的最值解由题意知，等差数列5,427，347，…的公差为－57，所以Sn＝5n＋nn－12－57＝－514n－1522＋112556.于是，当n取与最接近的整数即7或8时，Sn取最大值.152另解an＝a1＋(n－1)d＝5＋(n－1)an＝解得n≥8，即a8＝0，a9＜0.所以和是从第9项开始减小，而第8项为0，所以前7项和或前8项和最大.×－57＝－57n＋407.－57n＋407≤0，规律方法在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解.变式训练2在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值.解法一 an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.∴a10；当n≥35时，an<0.(1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－32n2＋2052n；(2)当n≥35时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1＋a2＋…＋...