高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第3课时 函数的奇偶性与周期性精品课件 文 北师大版 课件VIP免费

第3课时函数的奇偶性与周期性1．奇函数、偶函数的概念图像关于对称的函数叫做奇函数．图像关于对称的函数叫做偶函数．原点y轴2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是：(1)考查定义域是否关于对称；(2)考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)：若f(－x)＝，则f(x)为奇函数；若f(－x)＝，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝且f(－x)＝，则f(x)既是奇函数又是偶函数；若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数．原点－f(x)f(x)－f(x)f(x)【思考探究】奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？提示：定义域关于原点对称；必要不充分条件．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x)存在一个最小1．对任意实数x，下列函数中为奇函数的是()A．y＝2x－3B．y＝－3x3C．y＝5xD．y＝－|x|cosx答案：B2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析： 函数f(x)＝ax2＋bx在x∈[a－1,2a]上为偶函数，∴b＝0，且a－1＋2a＝0，即b＝0，a＝13.∴a＋b＝13.答案：B3．已知f(x)在R上满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2013)＝()A．－2B．2C．－98D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2013)＝f(503×4＋1)＝f(1)＝2.答案：B4．函数f(x)＝1x＋x3的图象关于________对称．答案：坐标原点5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.答案：－11．用定义判断(或证明)函数的奇偶性的一般步骤(1)验证定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数．(2)证明f(－x)＝±f(x)是否成立．若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．2．对于有些复杂的函数，有时需要将函数进行化简或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔＝±1(f(x)≠0)．3．对于分段函数的奇偶性的判断应分段逐一判断，然后统一下结论．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝x＋1x；(3)f(x)＝－x2＋2x＋1x＞0，x2＋2x－1x＜0；(4)f(x)＝4－x2|x＋3|－3.解析：(1)此函数的定义域为R. f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x＞0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即函数是奇函数．(4) 4－x2≥0，|x＋3|≠3⇒－2≤x≤2且x≠0，∴函数定义域关于原点对称．f(x)＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，又f(－x)＝4－－x2－x＝－4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，即函数是奇函数．解析：(1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．【变式训练】1.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2－x3；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝x12x－1＋12.(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． f(－x)＝－x12－x－1＋12＝－x2x1－2x＋12＝x2x2x－1－12＝x12x－1＋12＝f(x)∴f(x)是偶函数．1．对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式；2．奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．(1)设a＞0，f(x)＝exa＋aex是R上的偶函数，求实数a的值；(2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋...