高中数学 第二章233节第一课时等比数列的前n项和精品课件 苏教版必修5 课件VIP专享VIP免费

2.3.3等比数列的前n项和第一课时•课标要求：1.掌握等比数列前n项和公式及推导方法(错位相减法)．•2．会运用等比数列前n项和公式进行基本量的计算，并能进行简单应用．•重点难点：本节重点：推导并掌握等比数列的前n项和公式；•本节难点：错位相减法的应用．课标定位基础知识梳理1．等比数列的前n项和公式说明：等比数列的求和公式还可以有以下两种推导方法：(1)(合比定理)由等比数列的定义知a2a1＝a3a2＝…＝anan－1＝q.当q≠1时，a2＋a3＋…＋ana1＋a2＋…＋an－1＝q，即Sn－a1Sn－an＝q.故Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q.当q＝1时，Sn＝na1.(2)(拆项法)由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a2q，…，an＝an－1q.所以：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋a1q＋a2q＋a3q＋…＋an－1q＝a1＋(a1＋a2＋a3＋…＋an－1)q＝a1＋Sn－1q＝a1＋(Sn－an)q，∴Sn(1－q)＝a1－anq，所以当q≠1时，Sn＝a1－anq1－q＝a11－qn1－q，当q＝1时，Sn＝na1.2．在等比数列的通项公式和前n项和公式中涉及的基本量有a1，q，an，n，Sn共五个，知道其中任意三个量，就可以求出其余两个量．3．使用公式时，必须弄清公比q是可能等于1还是不等于1.如果q可能等于1，则需分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．若q＝1，则Sn＝na1.若q≠1，则Sn＝a11－qn1－q＝－a11－qqn＋a11－q，可以看出，式子是由一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数，由此可以根据前n项和公式判断等比数列，即非常数列的等比数列是Sn＝aqn－a(a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)的充分必要条件．课堂互动讲练题型一题型一等比数列前n项和公式的基本运算求数列前n项和，应抓住其核心——通项．例例11设等比数列{an}的公比q＜1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．【分析】解答本题应当建立a1与q的方程组求解．【解】由题设知a1≠0，Sn＝a11－qn1－q，则a1q2＝2，①a11－q41－q＝5×a11－q21－q，②由②得1－q4＝5(1－q2)，∴(q2－4)(q2－1)＝0，∴(q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0，因为q＜1，解得q＝－1或q＝－2.当q＝－1时，代入①得a1＝2，通项公式an＝2×(－1)n－1；【点评】运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．当q＝－2时，代入①得a1＝12，通项公式an＝12×(－2)n－1.综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－1.当q＝－2时，an＝12×(－2)n－1.变式训练变式训练1．求数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和．解：设数列为{an}，则an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝1－2n1－2＝2n－1.∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝21－2n1－2－n＝2n＋1－n－2.•错位相减法适合求一个等差数列与一个等比数列相应项相乘得到的新数列的前n项和，即已知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，利用错位相减法可求数列{anbn}的前n项和，因而具有一般性，其它方法求和可使学生进一步认识q≠1时，等比数列前n项和的特征，也能进一步开拓求和思路．题型二题型二“错位相减法”及其应用例例22求12，34，58，716，…，2n－12n的前n项和．【分析】an＝2n－12n＝(2n－1)·12n符合用错位相减法的条件．【解】设Sn＝12＋322＋523＋…＋2n－12n，①2Sn＝1＋32＋522＋…＋2n－12n－1.②②－①，有Sn＝1＋1＋12＋122＋…＋12n－2－2n－12n＝1＋1－12n－11－12－2n－12n＝3－2n＋32n.•【点评】要注意本题特点．它是形如{anbn}数列的前n项的和．其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列．具体解法是：乘等比数列的公比或倒数然后错位相减，使其转化为等比数列问题来解．变式训练变式训练2．设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解：(1) 当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，又当n＝1时，a1＝4×1－2＝2，故{an}的通项公式为an＝4n－2，即{an}是首项a1＝2，公差d＝4的等差数列．设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1， d＝4，∴q＝14.故bn＝b1qn－1＝2×14n－1，即{bn}的通项...