第1章集合1.1集合的含义及其表示一．问题情景：1.蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快的飞翔;茫茫的草原上，一群羊在悠闲地走动；清清的湖水里，一群鱼在自由地游泳；．．．．．．2.请仿照下列叙述，向全班同学介绍你的家庭、原来读书的学校、现在的班级等情况。我家有爸爸、妈妈和我；我来自兴仁初级中学；我现在的班级是高一（8）班，全班共有学生55人，男生28人，女生27人。这里的鸟群、羊群、鱼群；家庭、学校、班级、男生、女生等概念，它们都是同一类对象。“集合”日常生活中，是一个常用的词，现代汉语解释为：许多的人或物聚集在一起；现代数学中，是一种简洁、高雅的数学语言。最早由德国数学家康托尔（G.Cantor,1845-1918）他于1895年谈到“集合”一词。由此，康托尔被称为“集合论的创始人”二．学生活动：1.列举生活中的集合实例；2.回忆，初中学过的内容中哪些涉及到“集合”的术语？初中学过哪些数，能否把它们归归类？3.分析、概括各种集合实例的共同特点。想一想？三．数学建构考察下列问题：（1）本班所有的男同学；（2）中国的直辖市；（3）1~20以内的所有质数；（4）绝对值小于3的整数；（5）平面上到定点o的距离等于定长的所有的点。问题：归纳总结并给出集合的含义（描述性概念）思考1：以上集合中的元素分别是什么？思考2：一般地，怎样理解“元素”与“集合”？三．数学建构1.集合的含义一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合；集合中的每个对象称为这个集合的元素。集合常用大写字母表示，如A,B,C……元素常用小写字母表示，如a,b,c……2.集合中元素的性质（1）确定性：集合中的元素必须是确定的；若a是集合A中的元素，就说a属于集合A,记作Aa若a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A,记作Aa（2）互异性：集合中的元素必须是互不相同的；（3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的。三．数学建构3.常见的数集(1)N:自然数集(含0)即非负整数集；(3)Z：整数集；(4)Q：有理数集；(5)R：实数集.(2)或:正整数集(不含0)；*NN三．数学建构4.集合的表示方法（1）列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于大括号内。如：{北京，天津，上海，重庆}注：元素之间要用逗号分隔，列举时与元素次序无关。（2）描述法：将集合的所有元素都具有的性质（满足条件）表示出来，写成{x︳p(x)}如：{x︳x为中国的直辖市}（3）图示法：常常画一条封闭的曲线，用其内部表示一个集合。如:北京，天津，上海，重庆三．数学建构5.集合的分类(1)有限集：含有有限个元素的集合；(2)无限集：含有无限个元素的集合；(3)空集：不含任何元素的集合，记作：.四．数学应用1.说出下面集合中的元素:(1)由大于3小于11的偶数组成的集合;(2)由平方等于1的数组成的集合;(3)由15的正约数组成的集合.答:(1)集合的元素是:4、6、8、10；（2）集合的元素是1、-1；（3）集合的元素是1、3、5、15。22222.用符号或填空：1___N,0___N,-3___N,0.5___N,___N;1___Z,0___Z,-3___Z,0.5___Z,___Z;1___Q,0___Q,-3___Q,0.5___Q,___Q;1___R,0___R,-3___R,0.5___R,___R;3.若-3是由m-1，3m，m2+1组成的集合的元素,求实数m.-3是由m-1，3m，m2+1组成的集合的元素,m-1=-3,或3m=-3,或m2+1=-3m=-2,或m=-1,（m2+1=-3无实数解，舍去）解:代入检验符合集合元素的互异性所以实数m=-2或-1..532.4的解集求不等式x解集为的所不等式可得由解5324532xxx,.R,4|xxx.4|R,4|,xxxxx可简记为这里.01.52的集合所有实数解求方程xx,没有实数解因为解012xx.,|Rxxxx012所以6.已知集合A={x︳ax2+2x+1=0,xR∈},a为实数（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A是单元集，求a的取值范围；变题：若A中至多只有一个元素，求a的取值范围分析：A中至多只有一个元素，即A是空集或是单元集a=0或a≥1解：(1)若A是空集，则01440aaa(2)ⅰ.当A=0时，A=21，此时A为单元集；ⅱ.当A≠0时，要使A为单元集，则1,0a即综上所述，a=0或a=1五．回顾小结：1.集合的概念；2.集合中元素的性质：确定性互异性无序性；3.集合的表示方法：描述法、列举法、文恩图法；4.集合的分类：有限集、无限集、空集；5.特殊集合的表示。
