章末归纳总结本章在小学、初中和高中所学知识的基础上,介绍复数的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容.本章共分两大节.第一大节是“数系的扩充与复数的概念”.第二大节是“复数的运算”.在第一大节中,首先简要地展示了数系的扩充过程,回顾了数的发展,并指出当数集扩充到实数集时,由于负数不能开平方,因而大量代数方程无法求解,于是就产生了要开拓新数集的要求,从而自然地引入虚数i,复数由此而产生,接着,介绍了复数的有关概念和复数的几何表示.主要涉及的概念有:复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数相等、复数的模等.在第二大节中,介绍了复数代数形式的加、减、乘、除的运算法则,同时指出了复数加法、减法的几何意义,复平面上两点间的距离公式,沟通了“数与形”之间的联系,提供了用“形”来帮助处理“数”和用“数”来帮助处理“形”的工具.本章有两条主线:一条主线是以复数代数形式来表示复数的概念.规定了加、乘两种运算法则,然后把减、除法分别定义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则.利用复数的四则运算,可把复数代数形式a+bi看成由a和bi两个非同类项组成,这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误,于是复数就与多项式、方程联系起来,从而能帮助解决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题.另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数.由此引出了复数运算的几何意义,使复数在平面几何、解析几何中得到广泛应用.这两条主线在教材中是交替安排的,这样能加强学生的“形与数”结合的观念,使学生在看到代数形式时就能联想到几何图形,看到几何图形就能联想到对应的复数.有利于学生深入理解复数概念,开阔学生的思路,培养和提高用“数形结合”观点来处理问题的能力.[例1]已知m∈R,复数z=+(m2+2m-1)i,当m为何值时:[解析](1)当m2+2m-1=0且m-1≠0,即m=-1±2时,z为实数.(2)当m2+2m-1≠0且m-1≠0.即m≠-1±2且m≠1时,z为虚数.(3)当m(m+2)m-1=0且m2+2m-1≠0,即m=0或-2时,z为纯虚数.[说明]此题考查复数的分类概念,主要运用复数概念的充要条件,要注意纯虚数的充要条件a=0且b≠0.已知x是实数,y是纯虚数,且(3-y)i=y-i,求x,y.[解析]因x∈R,y是纯虚数,所以可设y=bi(b∈R且b≠0),代入原式,由复数相等的充要条件可得方程组,解之即得所求结果. y是纯虚数,可设y=bi(b∈R,且b≠0),则(2x-1)+3i+b=bi-i=(b-1)i,整理得(2x-1+b)+3i=(b-1)i,由复数相等的充要条件得2x-1+b=0b-1=3⇒b=4,x=-32,∴x=-32,y=4i.复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分子分母有理化,要注意i2=-1.在进行复数的运算时,要灵活利用i,ω的性质,或适当变形创造条件,从而转化为关于i,ω的计算问题,并注意以下结论的灵活运用:1.设ω=-12±32i,则ω2=ω,1ω=ω2,ω3n=1,ω3n+1=ω(n∈N+)等.2.(12±32i)3=-1.3.作复数除法运算时,有如下技巧:a+bib-ai=(a+bi)i(b-ai)i=(a+bi)ia+bi=i,利用此结论可使一些特殊的计算过程简化.[例2]计算:(1)(2+2i)4(1-3i)5;(2)-23+i1+23i+(21-i)2006.[解析](1)(2+2i)4(1-3i)5=24(1+i)4(-2)5(-12+32i)5=-24(2i)225(-12+32i)2=2(-12+32i)=-1+3i;(2)-23+i1+23i+(21-i)2006=(-23+i)i(1+23i)i+21003(-2i)1003=(23+i)ii-23-1i1003=i-1-i=i-i=0.5(4+i)2i(2+i)等于()A.5(1-38i)B.5(1+38i)C.1+38iD.1-38i[答案]D[解析]原式=5(4+i)22i-1=5(4+i)2(2i+1)(2i-1)(2i+1)=1-38i.共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念,在解决有关复数问题时,除用共轭复数定义与模的计算公式解题外,也常用下列结论简化解题过程.1.|z|=1⇔z=1z;2.z∈R⇔z=z;3.z≠0,z为纯虚数⇔z=-z.[例3]设z1、z2∈C,且|z1|=1,|z2|≠1,求|z1+z21+z1·z2|的值.[解析] |z1|=1,∴|z1|2=z1·z1=1.从而|z1+z21+z1z2|=|z1+z2z1(z1+z2)|=|1z1|=...