第8课时函数与方程1．函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的称为这个函数的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根函数y＝f(x)的图象与有交点⇔函数y＝f(x)有．横坐标x轴零点【思考探究】函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是f(x)＝0的根．f(a)f(b)＜0f(c)＝0c2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点，(x1,0)无交点零点个数两个零点一个零点无零点(x1,0)(x2,0)3.二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间，使区间的两个端点逐步逼近，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(a)f(b)＜0一分为二零点1．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是()A．0B．－1C．0，－1D．0,1解析： f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点为3，∴3a－b＝0,3a＝b.令g(x)＝0得bx2＋3ax＝0，即bx2＋bx＝0，bx(x＋1)＝0，∴x＝0或x＝－1.∴g(x)的零点为0或－1.答案：C2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不宜用二分法求交点横坐标的是()解析： B中x0左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零点的条件．答案：B3．函数f(x)＝lgx－1x的零点所在的区间是()A．(0,1]B．(1,10]C．(10,100]D．(100，＋∞)解析：由于f(1)f(10)＝(－1)×910＜0，根据二分法得函数在区间(1,10]内存在零点．答案：B4．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，则a的范围为________．解析：由题意f(1)·f(0)＜0.∴a(2＋a)＜0.∴－2＜a＜0.答案：(－2,0)解析：由f(2)·f(3)＜0可知．答案：(2,3)5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．函数零点个数的判定的几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．判断函数f(x)＝4x＋x2－23x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由．解析： f(－1)＝－4＋1＋23＝－73＜0，f(1)＝4＋1－23＝133＞0，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点．又f′(x)＝4＋2x－2x2＝92－2x－122，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤92，∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数，∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．【变式训练】1.(2010·天津卷)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)解析： f′(x)＝2xln2＋3＞0，∴f(x)＝2x＋3x在R上是增函数．而f(－2)＝2－2－6＜0，f(－1)＝2－1－3＜0，f(0)＝20＝1＞0，f(1)＝2＋3＝5＞0，f(2)＝22＋6＝10＞0，∴f(－1)·f(0)＜0.故函数f(x)在区间(－1,0)上有零点．答案：B用二分法求函数零点近似值的步骤须注意的问题(1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)＜0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．解析：通过参考数据可以得到：f(1.40625)＝－0.054＜0，f(1.4375)＝0.162＞0，从而易知x0≈1.40625.答案：1.40625f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984f(1.375)＝－0.260...
