第六章不等式、推理与证明第六节直接证明与间接证明抓基础明考向提能力教你一招我来演练[备考方向要明了]考什么1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．2.了解间接证明的一种基本方法——反证法.怎么考1.综合法、反证法证明问题是命题的热点．注重考查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能力．2.题型以解答为主，难度中、高档.内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论从要出发，逐步寻求使它成立的，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理等)为止．一、直接证明推理论证成立证明的结论充分条件内容综合法分析法实质由因导果(顺推证法)执果索因框图表示文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…二、间接证明反证法：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法．不成立矛盾1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案：B解析：假设为：“三个内角都大于60°”．答案：D2．若函数F(x)＝f(x)＋f(－x)与G(x)＝f(x)－f(－x)，其中f(x)的定义域为R，且f(x)不恒为零，则()A．F(x)、G(x)均为偶函数B．F(x)为奇函数，G(x)为偶函数C．F(x)与G(x)均为奇函数D．F(x)为偶函数，G(x)为奇函数解析：由F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)知F(x)＝F(－x)，G(－x)＋G(x)＝0.3．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案：B解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件论．⇒4．用反证法证明命题“如果a＞b，那么3a＞3b”时，假设的内容是________．解析：“如果a>b，那么3a>3b”若用反证法证明，其假设为3a≤3b.答案：3a≤3b答案：a≥0，b≥0且a≠b5．如果aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．解析： aa＋bb＞ab＋ba⇔(a－b)2(a＋b)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.1．证明方法的合理选择(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较容易，一般用综合法．(2)当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的准确表述．2．使用反证法的注意点(1)用反证法证明问题的第一步是“反设”，这一步一定要准确，否则后面的部分毫无意义；(2)反证法的“归谬”要合理．[精析考题][例1](2011·全国高考)设数列{an}满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝k＝1nbk，证明：Sn<1.[自主解答](1)由题设11－an＋1－11－an＝1，得{11－an}是公差为1的等差数列．又11－a1＝1，故11－an＝n.所以an＝1－1n.(2)证明：由(1)得bn＝1－an＋1n＝n＋1－nn＋1·n＝1n－1n＋1，Sn＝k＝1nbk＝k＝1n(1k－1k＋1)＝1－1n＋1<1.[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·绍兴模拟)设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b答案：A解析： a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.2．(2012·南开模拟)p＝ab＋cd，q＝ma＋nc·bm＋dn(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为()A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定答案：B解析：q＝ab＋madn＋nbcm＋cd≥ab＋2abcd＋cd＝ab＋cd＝p.[冲关锦囊]综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程．但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明．[精析考题][例2]已知△ABC三边a，b，c的倒数成等差数列，证明：B为锐角．[自主解答]要证明B为锐角，根据余弦定理，也就是证明cosB＝a2＋c2－b22ac>0，即需证a2＋c2－b2>0.由于a2＋c2－b2≥2ac－b2，要证a2＋c2－b2>0.只需证2ac－b2>0. a，b，c的倒数成等差数列，∴1a＋1c＝2b，即2...
