高中数学 第2章 212曲线方程课件 新人教A版选修3-1 课件VIP专享VIP免费

一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.曲线C上的点的坐标构成集合为A二元方程f(x，y)=0的解集为BBAAB那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。BA[例1]：设A、B两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求线段AB的垂直平分线的方程.整理得，x+2y-7=0①由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解解：（1）设M（x,y）是线段AB的垂直平分线上任意一点则｜MA｜=｜MB｜2222)7()3()1()1(yxyx设点的坐标化简整理坐标代换列出几何关系即即x1+2y1-7=0,x1=7-2y1点M1到A、B的距离分别是｜M1A｜=（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解2121)1()1(yx.)136(5)7()24()7()3(;)136(5)1()28(1212121212111212121yyyyyxBMyyyy证明结论∴｜M1A｜=｜M1B｜,即点M1在线段AB的垂直平分线上.由（1）（2）可知，方程①是线段AB的垂直平分线的方程.点M的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数k的点的集合：P={M｜｜MR｜·｜MQ｜=k},(其中Q、R分别是点M到x轴、y轴的垂线的垂足）因为点M到x轴、y轴的距离分别是它的纵坐标和横坐标的绝对值，∴｜x｜·｜y｜=k,即x·y=±k①［例2］点M与互相垂直的直线的距离的积是常数k(k＞0)，求点M的轨迹.解：取已知两条互相垂直的直线为坐标轴，建立直角坐标系.建立适当的坐标系，设点的坐标设点M的坐标为(x,y)，化简整理坐标代换列出几何关系(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程①的解；由（1）、（2）可知，方程①是所求轨迹的方程.（2）设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解，那么x1y1=±k,即｜x1｜·｜y1｜=k.而｜x1｜、｜y1｜正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点.证明结论1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；2）写出适合条件P的点M的集合：P={M｜P(M)};3）用坐标表示条件P（M），列出方程f(x,y)=0;4）化方程f(x,y)=0为最简形式；5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.小结:求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（二）列式换标（一）建系设标（四）特殊说明（三）化简整理[例３]定长为２ａ的线段，其两端点分别在ｘ轴和ｙ轴上滑动，求该线段中点所形成的曲线方程．（二）列式换标（一）建系设标（三）化简整理（四）特殊说明【练习】：1、已知线段AB的长为10，动点P到A、B的距离的平方和为122，求动点P的轨迹方程。}.2||||{MBMAMP2)2(22yyx281xy281xy[例4]已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A（0，2）的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程.解：设点M（x,y）是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B（图7—31），那么点M属于集合由距离公式，点M适合的条件可表示为：将①式移项后再两边平方，得x2+(y－2)2=(y+2)2,化简得：因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,虽然原点O的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程是(x≠0),它的图形是关于y轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图7—31中所示.①