第3讲基本初等函数及函数的应用1．二次函数的图象与性质(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线①a定形状，b、c定位置，过定点(0，c)；②对称轴为x＝－b2a，顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)．(2)当a＞0时，图象开口向上，在(－∞，－b2a]上单调递减，在[－b2a，＋∞)上单调递增；当a＜0时，图象开口向下，在(－∞，－b2a]上单调递增，在[－b2a，＋∞)上单调递减．要点知识整合2．指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，指数函数与对数函数的性质见下表：指数函数y＝ax对数函数y＝logax定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)增减性a>1时为增函数，0
1时为增函数，00且a≠1)f－1(x)＝ax(a>0且a≠1)图象特征图象始终在x轴上方图象始终在y轴右侧3．函数与方程(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.注意以下两点：①满足条件的零点可能不惟一；②不满足条件时，也可能有零点．热点突破探究题型一题型一二次函数的图象与性质设二次函数f(x)＝x2＋x＋c(c＞0)，若f(x)＝0有两个实数根x1、x2(x1＜x2)．(1)求正实数c的取值范围；(2)求x2－x1的取值范围；(3)如果存在一个实数m，使f(m)＜0，求证：m＋1＞x2.例例11典例精析典例精析【解】(1)由x2＋x＋c＝0有两个实数根x1、x2(x1＜x2)及c＞0得Δ＝1－4c＞0，c＞0，解得0＜c＜14.(2)由根与系数关系，得x1＋x2＝－1，x1·x2＝c，又x2＞x1，∴x2－x1＝x1＋x22－4x1·x2＝1－4c. 0＜c＜14，∴0＜x2－x1＜1.(3)证明： f(m)＜0，且抛物线f(x)＝x2＋x＋c的开口向上，∴x1＜m＜x2，∴m－x1＞0，又(2)中0＜x2－x1＜1，∴m＋1＞m＋(x2－x1)＝(m－x1)＋x2＞x2.即m＋1＞x2.【题后拓展】理清二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：(1)Δ<0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点⇔ax2＋bx＋c＝0无实根⇔ax2＋bx＋c>0(<0)的解集为或∅R；(2)Δ＝0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相切⇔ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实根；(3)Δ>0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有两个不同的交点⇔ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根．1．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，且x≤1时，f(x)≥0,1≤x≤3时，f(x)≤0恒成立．(1)求b，c之间的关系；(2)当c>－1时，是否存在实数m使得g(x)＝f(x)－m2x在区间(0，＋∞)上是单调递增函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．变式训练变式训练解：(1) f(1)≥0，f(1)≤0，∴f(1)＝0.∴b＋c＋1＝0.(2)假设存在实数m满足条件， g(x)＝f(x)－m2x＝x2＋(b－m2)x＋c在[m2－b2，＋∞)上单调递增，又g(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴m2－b2≤0，∴b≥m2≥0， c>－1，∴b＝－(c＋1)<0，与b≥m2≥0矛盾，故不存在满足题设的实数m.题型二题型二指数、对数函数的性质设函数f(x)＝loga(1－ax)，其中01.【解】(1)证明：任取x1，x2∈(a，＋∞)，且x10.则00，有f(x1)>f(x2)，∴f(x)是(a，＋∞)上的减函数．(2)法一： 01⇔loga(1－ax)>logaa⇔1－ax>0，①1－axa或x<0；解不等式②得0a或x<0}． 01，∴f(x)＝loga(1－ax)<0不合题意．当x>a时，解方程f(x)...
