高中数学 (1．31　三角函数的周期性)课件 苏教版必修4 课件VIP免费

1．3三角函数的图象和性质1．3.1三角函数的周期性【课标要求】1．了解周期函数与周期的定义及最小正周期的概念．2．会求形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的函数的周期．3．学会利用函数的周期性解简单的问题．【核心扫描】1．掌握形如y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的函数周期计算方法．(重点)2．会用函数的周期性解决简单的实际问题．(难点)自学导引1．周期函数的概念一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做，非零常数T叫做这个函数的．2．最小正周期的概念对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的．周期函数周期最小正周期试一试：用诱导公式证明：函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω≠0)是周期函数．提示由诱导公式知Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)，也就是Asinωx＋2πω＋φ＝Asin(ωx＋φ)，即fx＋2πω＝f(x)，所以函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3．y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝.2πω想一想：若函数y＝f(x)是周期为T的周期函数，则函数的定义域有何特点？提示周期函数y＝f(x)的定义域为无限集；若x是定义域中的一个值，则x＋k·T(k∈Z，且k≠0)也一定属于定义域．名师点睛1．周期函数的理解(1)定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)或不满足都不能说T是f(x)的周期．(2)周期函数的周期不只一个，若T是周期，则kT(k∈N*)一定也是周期．在所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，若没有特殊说明，一般指函数的最小正周期．(3)在周期函数y＝f(x)中，T是周期，若x是定义域内的一个值，则x＋kT也一定属于定义域，因此周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或者无下界．(4)f(x＋T)＝f(x)是定义域内的恒等式，对定义域内的每一个值都成立，周期T是对自变量x本身所加的常数．如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f2x＋T2＝f(2x)，则T2是f(x)的周期．(5)并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)＝C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任何值时，函数值都是C，即对于函数f(x)的定义域内的每一个值x，都有f(x＋T)＝C，因此f(x)是周期函数，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f(x)没有最小正周期．2．正弦函数与余弦函数的周期从正弦线、余弦线的变化规律可以看出正弦函数y＝sinx，x∈R和余弦函数y＝cosx，x∈R是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.正弦函数、余弦函数的周期也可由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z)中得出结论．3．函数y＝Asin(ωx＋φ)及函数y＝Acos(ωx＋φ)的周期一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R及函数y＝A·cos(ωx＋φ)，x∈R(其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期为T＝2πω.题型一求函数的周期【例1】求函数f(x)＝2sin3x＋1的周期．[思路探索]属于三角函数周期问题．解法一设f(x＋T)＝f(x)，则2sin[3(x＋T)]＋1＝2sin3x＋1对任意实数x都成立，即2sin(u＋3T)＋1＝2sinu＋1对任意实数u都成立，其中u＝3x.由y＝sinu的周期为2π，令3T＝2π得T＝23π，即f(x)＝2sin3x＋1的周期为23π.法二T＝2π|ω|＝2π3.规律方法求函数周期的方法主要有：①定义法，即由f(x＋T)＝f(x)得到f(x)的周期T，再证明T是f(x)的最小正周期；②利用y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|这个结论．③结合图象判断．【变式1】求下列函数的周期：(1)y＝2sin3x＋π4；(2)y＝3cos2x－π3；(3)y＝2sinπ3－π2x.解(1)y＝2sin3x＋π4的周期为T＝2π3.(2)y＝3cos2x－π3的周期为T＝2π2＝π.(3)y＝2sinπ3－π2x可化为y＝－2sin...